抽象代數——羣的基本定義和一些例子

羣論的基本概念點較多，且各概念點之間關係縱橫交錯，學習起來頗有本科時初學線性代數時的感覺，覺得有必要整理一下，先梳理一下羣的基本定義和例子。
首先作幾點說明：
1、羣(group)、環(ring)、域(field)是抽象代數(abstract algebra)中基本的代數結構(algebraic structures)
2、上述這些代數結構是抽象代數(abstract algebra)的研究對象之一，另一個研究對象是通過研究這些代數結構間的保持運算的映射(態射(morphism))
3、1872年，F.Klein在被聘爲埃爾朗根大學的數學教授的就職演講中闡述了幾何學統一的思想：所謂幾何學，就是研究幾何圖形對於某類變換羣保持不變的性質的學問，或者說任何一種幾何學只是研究與特定的變換羣有關的不變量（《埃爾朗根綱領(Erlangen Program)》）

〇、前置概念

名稱	英文名稱	定義	說明
代數運算	Algebra Calculation	非空集合S與自己的笛卡爾積S×S 到S 的一個映射	在羣論中通常是指所謂的二元代數運算
正交點變換			又稱爲保距變換(isometry)
正交矩陣	Orthogonal Matrix	AAT=ATA=E
酉矩陣	Unitary Matrix	UUH=UHU=En	式中H爲共軛轉置

一、羣的定義

1、羣的基本定義

序號	定義	說明
1	代數運算	定義了一個代數運算的非空幾何
2	結合律	(ab)c=a(bc),∀a,b,c∈G
3	單位元存在律	∃s∈G,ea=ae=a,∀a∈G
4	逆元存在律	∀a∈G,∃b∈G,ab=e

2、 羣定義的衍生

名稱	英文名稱	定義	說明
羣	Group	滿足前述全部4條羣的基本定義的非空集合
半羣	Semigroup	僅滿足前述羣的基本定義中的前2條的非空集合，即： 1）定義了集合上的代數運算 2）適用結合律 但是，並不要求存在單位元和逆元	也有地方稱爲仿羣
幺半羣	Monoid	滿足前述羣的基本定義中的前3條的非空集合，即： 1）定義了集合上的代數運算 2）適用結合律 3）存在單位元 但是，並不要求存在逆元
阿貝爾羣	Abel Group	在滿足前述全部4條羣的基本定義的前提下，再補充一條：羣元素滿足交換律	ab=ba,∀a,b∈G

二、羣的例子

1、生活中羣的例子

名稱	英文名稱	說明
平面晶體羣	Plane Crystallographic Group	又被稱爲貼牆紙羣(Wallpaper Group) 已經G.Polya在1924年完成對平面晶體羣的分類：共有17種不同的平面晶體羣
空間晶體羣	Space Crystallographic Group	Fedorov和Schonflies分別獨立地證明了空間晶體羣共有230個
魔方羣	Rubik’s Cube group	https://en.wikipedia.org/wiki/Rubik%27s_Cube_group

2、數集中羣的例子

名稱	符號	定義	說明
整數加羣
實數加羣
n次單位根羣	Un		Un 的生成元成爲複數域中的本原n次單位根(primitive n th root of unity)

3、幾何中羣的例子

中文名稱	英文名稱	符號	定義	說明
歐幾里得羣	Euclidean Group	En	n 維空間所有正交點變換的集合	E2 爲平面歐氏羣E3 爲空間歐氏羣
二面體羣	Dihedral Group	Dn	正n 邊形的對稱（性）羣，n≥3

4、代數中羣的例子

中文名稱	英文名稱	符號	定義	說明
模n剩餘類環		Zm	Zm=0,1,2,…,m−1	該羣的生成元是1¯(i¯=i1¯)
Zm 的單位羣	Zm ’s Group of Units	U(Zm)或Z∗m	Zm=0,1,2,…,m−1	該羣的生成元是1¯(i¯=i1¯)
Zp 的乘法羣		Z∗p	當m爲素數p時，Zm 中所有非零元組成的集合對於乘法構成的一個abel羣	該羣是一個abel羣 當m爲素數時，根據歐拉定理Zp 中的所有元素都有逆元(inverse unit)
一般線性羣	General Linear Group	GLn(F)	域F上所有n級可逆矩陣組成的集合，對於矩陣的乘法所成的羣	是矩陣羣(Matrix Group)的一種
特殊線性羣	Special Linear Group	SLn(F)	在一般線性羣定義的基礎上再補充定義，所有的矩陣行列式爲1	是矩陣羣(Matrix Group)的一種
正交羣	Orthogonal Group	On	實數域上所有n級正交矩陣(AAT=ATA=E )組成的集合	是矩陣羣(Matrix Group)的一種
特殊正交羣	Special Orthogonal Group	SOn	在正交羣定義的基礎上再補充定義，所有的矩陣行列式爲1	是矩陣羣(Matrix Group)的一種 通常SOn 被稱爲n維旋轉羣(Rotation Group) 它所指定的旋轉對應的旋轉軸可以通過求解一個線性方程組的基礎解析來計算得到
酉羣	Unitary Group	Un	複數域上所有n級酉矩陣組成的集合，對於矩陣乘法所成的羣
特殊酉羣	Special Unitary Group	SUn	在酉羣定義的基礎上再補充定義，所有的矩陣行列式爲1
集合Ω 的全變換羣	Full Transformation Group on Set Ω	SΩ	非空集合Ω 到自身的所有雙射組成的集合，對於映射的乘法構成的一個羣
n元對稱羣	Symmetric Group on n letters	Sn	SΩ ，當Ω 爲有限集合時	Sn 具備對稱性 這時其中的每一個元素(是一個雙射)被稱爲Ω 的一個置換(permutation)，對於Ω 有n個元素的情形，該置換被稱爲n元置換(permutation on n letters) Sn 中引入了r-輪換(r-cycle)的概念；特別的，當r=2時，輪換被稱爲對換(transposition)；並且可以說明：每一個置換都可以表示成一些對換的乘積 並且對於置換進一步引入了由其等價的對換分解式中的對換的個數的奇偶性確定的奇置換或偶置換
n元交錯羣	Alternating Group on n letters	An	Sn 中所有偶置換組成的集合

References

• 丘維聲，抽象代數基礎
• F. Klein，A comparative review of recent researches in geometry，http://arxiv.org/abs/0807.3161
• https://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)
• https://en.wikipedia.org/wiki/Rubik%27s_Cube_group