Palette: Distributing Tables in Software-Defined Networks筆記

前言

解釋

• table：表，規則的集合
• small table、subtable：子表、小表，被分割後的表
• large table：原始表，待分割的表
• largest table：大表，規則數最多的表
• table size：表中規則的數量，表的大小
• bits：位，匹配符或數據包頭中的字符位

一句話總結

將原始規則表分割成均等的C個子表，（其中圖中最短路徑的長度是C的上界）然後使用彩虹路徑方法將子表放入交換機中，保證每條路徑上都要有所有的子表。

• decompose：如何分割使子表均等，且子表規則數最少→子表數最多，還要考略分割的質量（子表的大小是問題的關鍵）
• distribute：不同的拓撲圖路徑，如何考慮C，如何放入

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一、Decomposition Rules

How to decompose a large table that contains all rules into a predetermined number of smaller tables.

將原始表分割成規定數量的子表。其中子表的大小應該近似均等。

• 定義每一個子表都代表一種顏色（color）
• 分割要滿足兩點：
  
  • Order-oblivious訪問子表可以無序性（？）；
  • Semantically-invariant子表不會改變原始表的語義
• 有些規則不能分配，即表中的一些規則必須在指定的switch中（如r.p是講packet發到指定的switch端口），是不安全的
• 默認這裏表中的規則都是安全的，可以被分配的
• 兩種類型的規則：
  
  • 默認規則（default rule）：所有位都是*（通配符），優先級最低，用於如果沒有匹配到其他規則，默認轉發到下一跳switch，執行默認動作。分解時忽視默認規則。
  • 非默認規則（non-default rules）：普通的規則

如何具體分割表？

——>兩個分割方法：

• Pivot Bit Decomposition（PBD）：基於軸點的分割
• Cut-Based Decomposition（CBD）：基於切割的分解

PBD

迭代地，每次通過合適的軸點將表分割成兩個子表。直到①達到指定的c個子表，或者②子表的規則數沒有減少（即並沒有比分割前的表少）結束迭代。

• 注意這裏一次迭代會分割成兩個子表。兩個規則中最多的那個子表是最大子表。

——>什麼是軸點（pivot）？

• 指的是那些規則的位（bit）上是*的位點（e.g.如規則1*0，第二個位是軸點，規則可以被分解成100和110。）
• 注意一個規則上可以有多個軸點，即可以被分解成多個規則（e.g.一個規則有P個軸點，則可以被分解成2P 中新規則。表同理。）
• 可知不同的一些軸點，可能會得到不同的子表。所有子表的結果由待分表和軸點共同決定

——>如何選擇合適的軸點（bit）以滿足我們的目標？

目標：Our goal is to greedily minimize the maximum table size among all the small tables.

目標：最小化每個switch中最大子表的規則數量，來最大化子表（colors）的總量。

• 每次都選擇最大的表開始分解
• 分解軸點的選擇：首先依次遍歷該表中的所有bit[i，0-6]位（i代表第幾列，軸點），其實就是依次橫向預分解得到估計的最大子表（即兩個表中規則數最多的那個做代表），最後從所有最大子表中選擇規則數最少的那個作爲最少最大子表→得到相應的軸點i→得到相應的可分解規則R。以實現目標——子表規則數最少（理解：最大子表的規則數都是最少的了，還有神馬子表不是呢）
• 每次迭代根據PBD分割的兩個子表的規則數會大致相等
• 軸點（pivot）公式：
  
• 若得到的最少最大子表規則沒有減少，則拒絕該表的分割，跳到下一個表

——>例子1：

• 各bit[i,0-6]上的最大子表規則數分別爲：6、5、6、6 、6、 6
• Rule ϕ2 has * in bit 1,and therefore it is duplicated to rule ϕ′ 2 = 001***0 and ϕ′′ 2 = 011***0.
• first sub-table：ϕ1 , ϕ′ 2 , ϕ6 and ϕ7
• second sub-table： ϕ′′ 2 , ϕ3 , ϕ4 , ϕ5 and ϕ7

——> 證明

• 引理一：如果一個packet（h）在原始表中可以匹配一個非默認規則時→那麼在PBD中，h也可以匹配的非默認規則只在一個子表中，其他所有子表匹配非默認規則（證明略，沒看懂）

• 引理二：如果一個packet（h）在原始表中匹配的是默認規則時→那麼在PBD中，h可以匹配所有子表的默認規則

• 定理一：PBD可以保持原始表的語義，不管子表的被訪問順序

——>缺陷

• 若表規則數c不是2的整數倍數，會導致子表的規則數不均等了（？）
  解決：取最大整數p，使p滿足p2 < c。一個子表取p2 ，另一個子表取c - p2 個
• 可能會出現最大子表規則數不理想，是理論上的c倍（定理二）
  

  證明：假設有一個原始表（N個規則）如下：
  01111
  10111
  11011
  11101
  11110
  按照1到c-1bits分割成c個子表
  結果：c-1個一個規則的子表，剩下一個最大子表規則數爲N-c+1（理想情況下：子表規則數N/c）
  倍數約爲：（N-c+1）/（N/c）≈ c，N足夠大

CBD

根據**直接依賴圖**分割規則  ——>這裏的依賴關係如何定義的？ 首先邊代表規則的依賴關係

• 高→低
• u → v
• 這裏的依賴關係用|Cu,v |表示

規則依賴公式|Cu,v | = {i | bvi = * and bui ≠ * } 其中 bui denote the i-th bit of node u.

（理解：規則依賴即規則的重疊部分，這裏C指的是低級規則對高級規則包含的通配符個數。依賴成本指的是若分割後需要添加的新節點（規則）的個數，注意與規則緩存中依賴成本是被依賴的規則數相區別。其實依賴本質上是一致的，只是量化的方式不一樣：規則緩存是一起放入依賴規則；規則放置是將依賴規則放入多個交換機，需要分割）

各邊上的權重（weight）代表分割這條邊的成本：w(u, v)= |Cu,v |−1

——>分割的原理

通過消除兩規則之間的依賴關係來分割邊

for each bit i in Cu,v , we can write a rule that is identical to v, except the i-th bit that is replaced by 1 − bui .

我們將重寫|Cu,v |個新的規則（節點）：第i位爲1 − bui 。這些規則是用來分割規則v的，因此與規則u不依賴了。總之添加了w個規則，並且這些新規則的成本也降低了。

定理三： Using the above-mentioned edge breaking and node expansion operations, CBD can exactly emulate PBD.

CBD方法事PBD方法的擴展。

在PBD中，沒有packet可以都匹配兩個子表中的不同規則。CBD也同理。

——>如何分割呢？

目標：

步驟：迭代地進行，每次迭代的步驟

• 我首先 使用METIS 劃分（partition）出大小均爲c的子圖（子表），要使邊的權重最小化
• 根據劃分的質量（是否超過參數權重w0 ）來選擇：若超過。則expand one of the rules, and then go to the next iteration（？）；若沒有超過，則結束分割所有的依賴邊（cut-edges，分割原理如上）
• （？這部分沒有看懂，需要了解METIS算法）

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二、RAINBOW PATH PROBLEM

how to spread the subtables in the network？
——>怎樣將分割的子表放到網絡中？

second subproblem is to ensure that each packet traverses all the types of small tables (i.e. all colors), so that the resulting setting would be semantically equivalent to a single lookup in the large table.
——>要使每個packet可以遍歷到所有的子表（colors）

each path must contain all c colors.
——>就相當於每個路徑（path）都必須要有所有的c個子表（colors）

定義一：the (G, P, c) RAINBOW PATH PROBLEM
將上述問題歸納成彩虹路徑問題，即是否存在一個方案γ：使每條路徑都能放入所有的子表。

• G：一個給定的網絡拓撲圖 G =（V, E）
• P：流的路徑集（path）P = {p1 , … , pf }。其中 S(pi ) 代表路徑中的switch，L(pi )代表路徑中的鏈路
• c：分割後子表（colors）的數量

目標：我們的目標是最大化子表的數量（上一章已經介紹：通過最小化子表的大小來最大化子表數量）

——>怎麼判斷方案γ是否存在？

結合定義一和目標，子表（colors）的數量最多不能超過最短那條路徑（path）的容量。

如何具體判斷？我們將問題劃分爲下一節的幾點具體分析

The Rainbow Path Coloring

• The Rainbow Path Coloring in Trees 我們將網絡拓撲看作一顆無環樹（數據中心）
  
  • single-source tree 單源樹：所有路徑都是從同一個節點出發
  • general tree 一般情況的樹
• The Rainbow Path Coloring in General Graphs
• An Optimal Solver
• MULTICOLORED SWITCHES

下面具體分析各種情況下的方案γ（以下的分析是基於自己的理解得到的，如有錯誤之處請指正）

• （x，y）是set P上的最短路徑
• s是最短路徑的容量大小

1.single-source tree

單源樹：所有路徑都是從同一個節點x出發

可得定理五：

• a valid color assignment γ with s+1 colors
• 最短路徑P是通過對網絡拓撲圖BFS（廣度優先遍歷）得到的，時間複雜度O (m + n)
• 證明略，參考上圖a

2.general tree

一般情況下的樹。path的起始點x不再確定，→即（x，y）不一定在樹的一條分支上，→（x，y）可能有一部分有其他的path 共用。

可得定理六：

• a valid color assignment with ⌈ s/2 + 1⌉ colors
• 時間複雜度O (m + n)
• 證明（簡單理解，見上圖b）：
  
  • 首先 d(y′, x) = d(x, y) + d(y, y′) ，因爲樹是無環的
  • ⌈ s/2 + 1⌉是怎麼得到的？p1, p2 將p分爲兩個path，假設p1的長度大於p2，可得 |S(p1)| ≥ ⌈ s/2 + 1⌉。即p只能在其中一部分放最多 ⌈ s/2 + 1⌉個規則

3.The Rainbow Path Coloring in General

一般情況下，網絡拓撲是複雜的圖。

思路： At each iteration, which corresponds to a new color, GREEDY continuously picks uncolored nodes one by one, until each path contains at least one of the picked nodes in this iteration.

在每次迭代中，我們總選擇那些①佔有最多路徑的（理解爲最重要的交匯點，貪心思想）②所在路徑還有未被顏色c染色的節點v（switch），用顏色c進行染色（即將子表放入switch中），直到每條路徑都染上了顏色c，然後進行下一次迭代。若發現某條路徑上節點都已被染色完，即顏色c染不上了，則終止迭代，方案失敗。

• 注，第一次迭代總會成功的

我們將算法分爲兩類：

• 1-GREEDY 每次只能選一個節點，滿足上面①②要求
  
  • 定理七：時間複雜度O (n2 *f）= f · ((n − 1) + (n − 2) + … + 1)
  • n是圖中的節點數（switch），f是路徑數 。
• q-GREEDY 每次可以選q個節點，其中至少要有一個節點滿足①要求（②是默認滿足的）
  
  • 定理八：時間複雜度O ( nq+1 · f）

——>僞代碼

• 3-16 第一個while循環是迭代操作，每次迭代使所有路徑都要染上顏色c，否則迭代失敗
• 6-16 第二個while循環是在迭代中，找到滿足條件①②的節點，進行染色。然後接着找下一個節點。時間t=((n − 1) + (n − 2) + … + 1)

——>例子2

當q=1時，γ（V1,V2,V4）=1

(1)V=V1,V2,V4,V3;P＇=P=P1,P2,P3;V＇=∅;
   ①Vº=V1
    Pº=P1,P2
    V=V/Vº=V2,V4,V3;V＇=V1;P＇=P3
   ②Vº=V2
    Pº=P1,P3
    V=V/Vº=V4,V3;V＇=V1,V2;P＇=∅
(2)V=V4,V3;P＇=P=P1,P2,P3;V＇=∅;
   ①Vº=V4
    Pº=P2,P3
    V=V/Vº=V3;V＇=V1,V2,V4;P＇=P1
   ②在V中找不到路徑集P＇上的節點——>Vº=∅→迭代失敗

當q=2時，γ（V1,V2,V3,V4）=2

(1)V=V1,V2,V4,V3;P＇=P=P1,P2,P3;V＇=∅;
   ①Vº=V2，V3 //V3不是最大的
    Pº=P1,P2,P3
    V=V/Vº=V1,V4;V＇=V2,V3;P＇=∅
(2)V=V1,V4;P＇=P=P1,P2,P3;V＇=∅;
   ①Vº=V1,V4
    Pº=P1,P2,P3
    V=V/Vº=∅;V＇=V1,V2,V3,V4;P＇=∅

4.An Optimal Solver

動態規劃的思想

5.MULTICOLORED SWITCHES

在一個switch中可以分配多個 colors

有三點好處：

• 有利於大容量的switch
• 增加分配子表的靈活度
  
  • ratio=switch中的子表/總的子表數
• 適用於短的路徑非常短，長路徑非常長的情況。
  
  • 如果用 (G, P, c) 彩虹路徑的方法，爲了適應最短路徑→只能有較少數量的子表→導致子表非常大→不能充分利用長路徑的容量

定義二：(G, P, c, d)RAINBOW PATH PROBLEM

• 其中d表示每個switch裏能放最多d個colors

例子3

• 若是單節點的彩虹路徑，每個節點只能放一個相同顏色的color
• 若是多節點的彩虹路徑，則c=2。γ(V1) = {1, 2} ; γ(V2) ={2, 3} ; γ(V3) = {3, 1}。

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引用：

• Kanizo, Y, D. Hay, and I. Keslassy. “Palette: Distributing tables in software-defined networks.” INFOCOM, 2013 Proceedings IEEE IEEE, 2013:545-549.