卡塔蘭數

卡塔蘭數規定C₀＝1而C₁＝1，C₂＝2，C₃＝5，C₄＝14，C₅＝42，C₆＝132，C₇＝429，C₈＝1430，C₉＝4862，C₁₀＝16796，

C₁₁＝58786，C₁₂＝208012，C₁₃＝742900，C₁₄＝2674440，C₁₅＝9694845·········································

卡塔蘭數的一般項公式爲                       

另類遞歸式：  h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

C_n的另一個表達形式爲

h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)

還可以這樣推導出來：

 

n	推到過程	Cn
1	1	1
2	1  1	2
3	1  2  2	5
4	1  3  5  5	14
5	1  4  9  14  14	42
6	1  5  14  28  42  42	132
7	1  6  20  48  90  132  132	429
···	··· ···	···

所以，在做題的時候，我們應該用上面的公式Cn=Ck*Cn-k (k=1,2``n)來判斷是否使用於katalan數來解決問題，合適就列出前幾項來判斷推到出答案

總結了一下，最典型的四類應用：（實質上卻都一樣，無非是遞歸等式的應用，就看你能不能分解問題寫出遞歸式了）

1.括號化問題。

矩陣鏈乘： P=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？(h(n)種)

2.出棧次序問題。

一個棧(無窮大)的進棧序列爲1,2,3,..n,有多少個不同的出棧序列?

類似：有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)

3.將多邊行劃分爲三角形問題。

將一個凸N+2多邊形區域分成三角形區域的方法數?

類似：一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果她

從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？

類似：在圓上選擇2n個點,將這些點成對連接起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?

4.給頂節點組成二叉樹的問題。

給定N個節點，能構成多少種不同的二叉樹？

（能構成h（N）個）

Catalan數的解法

Catalan數的組合公式爲 Cn=C(2n,n) / (n+1);

此數的遞歸公式爲 h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)

卡特蘭數真是一個神奇的數字，很多組合問題的數量都和它有關係，例如：

Cn= n對括號正確匹配組成的字符串數，例如 3對括號能夠組成：

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

Cn= n+1個數相乘，所有的括號方案數。例如， 4個數相乘的括號方案爲：

((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd))

Cn= 擁有 n+1 個葉子節點的二叉樹的數量。例如 4個葉子節點的所有二叉樹形態：

• Cn=n*n的方格地圖中，從一個角到另外一個角，不跨越對角線的路徑數，例如， 4×4方格地圖中的路徑有：

• Cn= n+2條邊的多邊形，能被分割成三角形的方案數，例如 6邊型的分割方案有：

• Cn= 圓桌周圍有 2n個人，他們兩兩握手，但沒有交叉的方案數。

下面是一些大公司的筆試題

先來一道阿里巴巴的筆試題目：說16個人按順序去買燒餅，其中8個人每人身上只有一張5塊錢，另外8個人每人身上只有一張10塊錢。燒餅5塊一個，開始時燒餅店老闆身上沒有錢。16個顧客互相不通氣，每人只買一個。問這16個人共有多少種排列方法能避免找不開錢的情況出現。

C8=1430，所以總數=1430*8！*8！

2012騰訊實習招聘筆試題

在圖書館一共6個人在排隊，3個還《面試寶典》一書，3個在借《面試寶典》一書，圖書館此時沒有了面試寶典了，求他們排隊的總數？

C3=5；所以總數爲5*3！*3！=180.