複數導數：
設f(x,y)=u(x,y)+v(x,y)，則該複變函數可微的定義爲：
Δw=f(z+Δz)-f(z)可以寫成Δw=A(z)dw+p(Δw)的形式，且當Δw趨向於0時，P(Δw)=0，則稱f(z)在z點可微。
而C-R方程爲：
其證明爲：
函數可導時，沿任意方向使Δz趨近於0時，函數的導數應相等，所以：
沿x方向：
沿y方向：
根據上述要求，則上面的這兩個式子應該相等，所以可由此得到C-R方程。
注：C-R方程是複變函數可導的必要不充分條件，而複變函數f(x,y)=u(x,y)+v(x,y)在區域B內一點(xi,yi)可導的充要條件是u(x,y)和v(x,y)在點(xi,yi)可微且滿足C-R方程。