动态规划常见问题

1.找零问题
问题描述：目前人民币面值有1元、5元、10元、20元、50元、100元，假设现在需要给顾客找零n元，有多少种面值组合方式？

问题思路：设f[n][j]表示使用前j种面值组合成n元的组合方式种类数（每种面值可能用到，也可能不用），第j种面值为v[j]，那么f[n][j] = f[n][j - 1] + f[n - v[j]][j]，其中f[n][j - 1]表示不用第j种面值组合成n元的组合方式种类数，而f[n - v[j]][j]理解成，首先使用一张第j种面值，则剩余n-v[j]元，可以继续使用第j种组合也可以不用。特别的，有f[0][j] = 1。

C++：

#include <iostream>
using namespace std;
int v[] = {1,5,10,20,50,100};
int f(int n ,int j){
    if(n == 0)     return 1;
    if(n < 0 || j < 0)  return 0;
    return f(n ,j - 1) + f(n - v[j], j);
}
int main(){
    int n;
    cin >> n;
    cout << f(n,6 - 1) << endl;
    return 0;
}

测试用例：
输入
100
输出
344

2.钢条切割问题
问题描述：一家公司购买长钢条，将其切割成短钢条出售，切割本身没有成本，长度为i的短钢条的价格为Pi。那给定一段长度为n的钢条和一个价格表Pi,求钢条的切割方案使得收益Rn最大。如一个Pi如下：

求长度为n的钢条所有切割方法的最大收益？

问题思路：把长度为n的钢条看做n段长度为1的钢条，从钢条的最左端开始的相邻连接点开始，可以选择切割或者不切割，故总共的切割方案有2的n-1次方（这是在假设每一小段钢条不一样的情况下），实际总的切割方案数可以利用上述的找零思想。现在问题是所有切割方法的最大收益，假设长度为n的钢条的所有切割方案中最大收益为f[n]，则f[n] = max{Pi[n] ,f[1] + f[n - 1],f[2] + f[n - 2],…}。

C++：

#include <iostream>
using namespace std;
void max_cut(int f[],int Pi[],int n){
    for(int i = 1;i <= n; ++i ){
        int profit = Pi[i]; //初始化长度为i的钢条切割最大收益为不进行切割的价值
        for(int j = 1;j <= i/2; ++j){
            profit = profit > (f[j] + f[i - j]) ? profit : (f[j] + f[i - j]);
        }
        f[i] = profit;
    }
}
int main(){
    int n,k;
    cin >> n;
    int *Pi = new int[n + 1]();
    int *f = new int[n + 1](); //必须初始化为0
    for(k = 1;k <= n; ++k){
        cin >> Pi[k];
    }
    max_cut(f,Pi,n);
    cout << f[n] << endl;
    return 0;
}

测试用例：
输入
10
1 5 8 9 10 17 17 20 24 30
输出
30

3.01揹包问题
问题描述：一个揹包体积为V，有n件物品，对每件物品i，其体积为c[i]，价值为w[i]，求揹包能容纳的最大价值。

问题思路：假设f[v][i]表示体积为v的书包使用前i种（可以用也可以不用）容纳的最大价值，则f[v][i] = max{f[v][i - 1],f[v - c[i]][i - 1] + w[i]}。

C++:

#include <iostream>
using namespace std;
void package01(int f[],int c[],int w[],int n,int V){
    for(int i = 1:i <= n; ++i){
        for(int v = V;v >= c[i]; --v){
            f[v] = f[v] > (f[v - c[i]] + w[i]) ? f[v] : (f[v - c[i]] + w[i]);
        }
    }
}
int main(){
    int n,V,k;
    cin >> n >> V;
    int *f = new int[V + 1](); //必须初始化为0
    int *c = new int[n + 1]();
    int *w = new int[n + 1]();
    for(k = 1;k <= n; ++k){
        cin >> c[k];
    }
    for(k = 1;k <= n; ++k){
        cin >> w[k];
    }
    package01(f,c,w,n,V);
    cout << f[V] <<endl;
    return 0;
}

测试用例：
输入
4 10
2 3 5 6
3 4 7 8
输出
14

问题描述：输入一个整型数组，数组里有正数也有负数。数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。

int max_array(int A[],int n){
    int max = 0,temp = 0;
    for(int i = 0;i < n; ++i){
        if(temp <= 0)   temp = A[i];
        else    temp += A[i];
        if(temp > max)  max = temp; 
    }
}