合併規則：若X→Y，X→Z同時在R上成立，則X→YZ在R上也成立。
分解規則：若X→W在R上成立，且屬性集Z包含於W，則X→Z在R上也成立。
僞傳遞規則：若X→Y在R上成立，且WY→Z，則XW→Z。
函數依賴的公理系統
一、Armstrong公理系統設關係模式R<U,F>，其中U爲屬性集，F是U上的一組函數依賴，那麼有如下推理規則：
① A1自反律：若Y⊆X⊆U，則X→Y爲F所蘊含；
② A2增廣律：若X→Y爲F所蘊含，且Z⊆U，則XZ→YZ爲F所蘊含；
③ A3傳遞律：若X→Y，Y→Z爲F所蘊含，則X→Z爲F所蘊含。
根據上面三條推理規則，又可推出下面三條推理規則：
④ 合併規則：若X→Y，X→Z，則X→YZ爲F所蘊含；
⑤ 僞傳遞規則：若X→Y，WY→Z，則XW→Z爲F所蘊含；
⑥ 分解規則：若X→Y，Z⊆Y，則X→Z爲F所蘊含。
引理：X→A1A2…Ak成立的充分必要條件是X→Ai成立(i=1,2,...,k)。
二、Armstrong公理系統的證明
① A1自反律：若Y X U，則X→Y爲F所蘊含
證明1
設Y⊆X⊆U。
對R<U,F>的任一關係r中的任意兩個元組t,s：
若t[X]=s[X]，由於Y X，則有t[Y]=s[Y]，所以X→Y成立，自反律得證。
② A2增廣律：若X→Y爲F所蘊含，且Z U，則XZ→YZ爲F所蘊含
證明2
設X→Y爲F所蘊含，且Z⊆U。
對R<U,F>的任一關係r中的任意兩個元組t,s：
若t[XZ]=s[XZ]，由於X ⊆XZ，Z⊆ XZ，根據自反律，則有t[X]=s[X]和t[Z]=s[Z]；
由於X→Y，於是t[Y]=s[Y]，所以t[YZ]=s[YZ]；所以XZ→YZ成立，增廣律得證。
③ A3傳遞律：若X→Y，Y→Z爲F所蘊含，則X→Z爲F所蘊含
證明3
設X→Y及Y→Z爲F所蘊含。
對R<U,F>的任一關係r中的任意兩個元組t,s：
若t[X]=s[X]，由於X→Y，有t[Y]=s[Y]；
再由於Y→Z，有t[Z]=s[Z]，所以X→Z爲F所蘊含，傳遞律得證。
④ 合併規則：若X→Y，X→Z，則X→YZ爲F所蘊含
證明4
因X→Y ，所以X→XY （增廣律 XX→XY即X→XY）
因X→Z ，所以XY→YZ （增廣律）
因X→XY，XY→YZ
故X→YZ （傳遞律）
⑤ 僞傳遞規則：若X→Y，WY→Z，則XW→Z爲F所蘊含
證明5
因X→Y ，所以WX→WY （增廣律）
因WY→Z ，所以XW→Z （傳遞律）
⑥ 分解規則：若X→Y，Z∈Y，則X→Z爲F所蘊含
證明6
因Z∈Y 所以Y→Z （自反律）
因X→Y 所以X→Z （傳遞律）
閉包及其計算
定義2：被F邏輯蘊涵的函數依賴的全體構成的集合，稱爲F的閉包，記作F+。
定義3：設F是屬性集U上的一組函數依賴，則屬性集X關於F的閉包X+F定義爲X+F={A|A∈U且X→A可由F經Armstrong公理導出}，即X+F={A|X→A∈F+}。
定理1：設關係模型R(U)，F爲其函數依賴集，X，Y爲U的真子集，則從F推出X→Y的充要條件是Y是X+F的真子集。