其實，動態算法一個最大的特點就是最優子結構：就是原問題的解包含了子問題的解。
首先來看看動態規劃需要的原理：
要運用一個原理肯定要知道原理所適合的場合。竟然是有場合要求的，那麼我們就先要找到這個場合的特點。
動態規劃其適用的場合爲：具有最優子結構和重疊子問題。
①最優子結構：原問題的最優解包含了子問題的最優解。（這裏當然還不是那麼清楚）
②重疊子問題：就是在求解最優解時我們解的子問題的最優解會重複出現。
要明白這兩個問題我們需要看幾個例子：
a.裝配線調度
問題描述：
每一個裝配線S上有多個裝配站a，每個裝配站的時間也不同，且能夠將裝配物在兩裝配線的站點之間移動，但移動需要耗時t。那麼在當一件物品進入站配站時，走哪條路會是一個最短耗時。
當然，這看一下不就是一個最短路徑的求取嗎？呵呵，是的。當然可以用最短路徑了，但是你可以對比一下最短路徑算法與下面算法的時間效率。
開始分析問題：（這裏分析問題採用動態規劃四部曲：1.確定最優解結構。2.找出最優解的迭代關係。3.按自底向上的方式計算最優解的值。4由計算的結果構造一個最優解）
1.最優解結構
首先可以具體化一下。我們可以先求a(1,1)：f(a(1,1)) = e1.在有f(a(2,1))=e2。然後，我們計算a(1,2),這個有兩條可能的路徑：a(1,1)→a(1,2)和a(2,1)→a(1,2)，這兩種的計算方式如下：f指的爲路勁長度
f(a(1,1)→a(1,2)) = f(a(1,1)) + a(1,2)
f(a(2,1)→a(1,2)) = f(a(2,1)) + t(2,1) + a(1,2)
然後我們取兩者中的小者。
開始一般化：
（a）.對於裝配線1中的第i個裝配站有
f(a(1,i) = f(a(1,i-1)） + a(1,i)
or
f(a(1,i)) = f(a(2,i-1)) + t(2,i-1)+a(1,i)
取兩者的小者，則我們可以寫出這個函數解的遞歸式
f(a(k,i)) = 1 if i = 1
f(a(k,i)) = min(f(a(k,i-1)） + a(k,i),f(a(~k,i-1)) + t(~k,i-1)+a(k,i)); //其中k是我們裝配線的號：k=1,2. ~k爲取反。即~1=2，~2=1.
這個是解的結構，那麼用遞歸來解不是很直白嗎？但是，我們要考慮的是：這樣求解的效率怎麼樣呢？
當我們來這樣分解吧：
取i=4，求f(1,4)
f(a(1,4)) = f( a(1,3)) + a(1,4) 或者 f(a(1,4)) = f(a(2,3) + t(2,3) + a(1,4)
f(a(1,3)) = f(a(1,2)) + a(1,3) 或者 f(a(1,3)) = f(a(2,2)) + t(2,2) + a(1,3) 。。。。。。。。。。。。（1）
f(a(2,3)) = f(a(2,2)) + a(2,2) 或者 f(a(2,3)) = f(a(1,2)) + t(1,2) + a(2,2) 。。。。。。。。。。。。（2）
注意了，在（1）中我們要計算f(a(1,2)) 和f(a(2,2)),且在(2)中我們也要計算f(a(2,2))和f(a(1,2)).即，這兩個解是重複的計算了（子問題重疊），那麼只要我們在計算的時候能夠保存下來不就避免了重複計算了嗎？恩，是的。這就是動態規劃對付重疊子問題的方法。
重疊子問題是搜嘍出來了，那麼最優子結構又是什麼呢？
首先，我們可以這樣看待求解f(a(1,4)).我們像神一般，直接的知道f(a(1,4))是根據f(a(1,4)) = f( a(1,3)) + a(1,4)這個表達式計算得來的。那麼，這個問題中肯定包含了f(a(1,3))的最優問題。這證明是很簡單的，如果f(a(1,4))中的f( a(1,3))不是最優的，那麼f( a(1,4))也不會是最優的，因爲，我們完全可以用f( a(1,3))的最優路徑來代替上面的f( a(1,3))路徑，從而得到最優路徑，要是這樣，f(
a(1,4))就不是最優的了。這就是說神的判斷錯誤了。
恩，這樣動態規劃的兩個問題就都解決了。
2.確定解的迭代關係
在上面的分析時就包含了解的遞歸關係了。
f(a(k,i) = f(a(k,i-1)） + a(k,i)
or
f(a(k,i)) = f(a(~k,i-1)) + t(~k,i-1)+a(k,i)
3.自底向上的設計
現在是要實現這個算法，那麼我們的思路是根據上面的遞歸關係，但我們要加入一條就是要記錄子問題的解。即我們要一個數組來記錄一個子問題的解：sub(2,n).sub(1,i)爲第1個裝配線上的第i個裝配站，sub(2,i)爲第2個裝配線上的第i個裝配站.
恩，接近一步了。我麼這裏不採用自頂向下的算法，而是採用自底向上的算法。即，首先計算最底下的東西，然後再一步步的往上計算。
即首先我們計算sub(1,1),sub(2,1);然後計算sub(1,2),sub(2,2),......,sub(1,i),sub(2,i),......,sub(1,n),sub(2,n)。這樣是不是感覺特別的好理解了。呵呵，動態規劃思想也不復雜是吧。是的，算法的思想是不復雜了，複雜的是你要分析問題，怎麼分析出最優解結構，證明有最優子結構。
4.打印解
當我們求出一個最優解的時候，那麼怎麼打印這個解呢？呵呵，我們需要一個數組來記錄下來我們走過的路徑。road(2,n): road(1,i)記錄第1裝配線第i個裝配站是從哪個裝配線來的。
例如，road(1,4) = 2 那麼這個說明是從裝配線2來的，即從a(2,3)來的。呵呵，下一步就是去找road(2,3)了。這樣我們只要一個for循環就能解決了是不。
下面再來求矩陣連乘的問題：
矩陣連乘問題是找到一種結合方式來使矩陣鏈的乘法次數最少。矩陣鏈爲A1A2...Ai...An
1.最優解結構
很簡單，就是找到一種加括號的方式使得矩陣鏈能夠乘法次數最少。當然，我是看了書的。所以我能知道怎麼分析了。試想一下，矩陣鏈乘法最終是不是變成兩個矩陣的相乘呢？不管你有多少矩陣，最終我們要成的就是兩矩陣。所以，我們開始將這個鏈用兩對括號來分開，現在我是神，我知道在k處方分開是最優的，即：（A1A2...Ak)(Ak+1...An).那麼，對於（A1A2...Ak)子問題也是一樣的，原問題肯定包含這個子問題的最優解。
2.解的遞歸特性
問題的遞歸特性其實很好寫出來的。即
f(A1A2...Ai...An) = f(A1A2...Ak)+f(Ak+1...An)
+ p1pkpn.//當然，這是對於1到n的解。當我們將1變成i和n變成j時，這就成了一個一般化的問題了。（p1pkpn需要了解矩陣的乘法，p1爲A1的行，pk爲Ak的列，pn爲An的列，最終結果的矩陣大小爲pkxpn）。
3.自底向上的解法
首先，我們是需要一個變量來保存每個底層計算的解。sub(i,j)表示Ai到Aj子矩陣鏈的最優解。對於單個矩陣我們不需要計算，即sub(i,j) = 0 ;
那麼我們就現計算兩個兩個的矩陣最優值，然後計算三個三個的矩陣最優值，...，最後計算所有鏈長矩陣的最優值。
當然，我們不是神，所以每次的k選取都是要經過循環窮舉選取的。
for L = 2 to n
for i = 1 to n-l + 1 //即，i在每次計算子矩陣鏈時最終到哪個地方停止。
j = i+L-1 //子矩陣從i到那個地方結束
sub(i,j) = MAX
for k = i to j-1 //便利每一個位置，來找到最優值，注意，（Ai,...,Aj）和(Ai,...,Aj-1)(Aj)是一回事情
tmp = sub(i,k) + sub(k+1,j)
if(tmp < sub(i,j))
sub(i,j) = tmp ;
road(i,j) = k ;
4.打印解
現在我們知道怎麼求最小解了，但不知道怎麼加括號了。嘻嘻，只要我們在求解的時候記錄下每個子問題的最優分割處，我們就能知道怎麼打印解了。當然，這裏需要我們有一個記錄變量road(n,n).road(i,j)=k，表示[i,j]子矩陣鏈在k處劃分最優。那麼我們加到求解過程中去。然後我們該怎麼打印呢？
print(road,i,j)
if(i >= j-1 )
return ;
printf '(A' i
print ( road,i,road(i,j))
printf 'A' road(i,j) ')(A' road(i,j) + 1
print( road,road(i,j) + 1,j)
printf 'A' j ')'
三、最長公共子序列
是不是感覺題目難呢？是的了，這些都是最主要的一步：找到解的結構，尋找出最優子結構。
最長公共子序列講的是，對於X=<x1,x2,...,xm>和Y=<y1,y2,...,yn>尋找一個最長子序列Z，使得Z即是X的子序列也是Y的子序列。這裏子序列的概念是（對於X來講）：子序列的元素是X中的，且在子序列出現的相對順序與在X中出現的相對順序是相同的。例如，X=<A,B,B,C,D>則，<A,C,D>，<A,B,B>都是X的子序列。
明晰了概念後，我們來找最長公共子序列的解的結構：
根據定義，解的結構是很明確：即找一個公共子序列，且在所有的子序列中最長之一。這很容易想到一個窮舉的算法：對X我們計算出所有的子序列（這用10101010編碼能很容易實現的），對Y計算出所有的子序列；然後比較相同長度的X,Y子序列，看是否相等，這樣我們可以求出最長公共子序列了。但是這種算法好嗎？時間耗費太大了。光求X的子序列就得要耗費o(2^m)。所以，這種方法還是行不通的。那麼找其它的方法了。
動態規劃（先試一下啥，不行再另外找了）
要用動態規劃，首先得找到滿足動態規劃的兩個特性：最優子結構和子問題重疊。
先找最優子結構：原問題的解包含了子問題的解。
最常用的最優子結構找法就是先假設我們找到了原問題的最優解了，然後找問題最優解的遞歸方法，最後證明最優子結構的存在。
那麼，
第一步：假設Z=<z1,z2,...,zk>是我們找到的一個最優解。
第二步：找解的遞歸形式。那麼，該怎麼找遞歸形式呢？這是最難的一步。想想，遞歸的形式是什麼？一般我們做遞歸是不是寫成f(n)的形式，然後在計算f(n)的時候去找f(n-1)?哈哈，是的。這是理論一般化。我們也可以用到這裏來！先找zk，那麼zk會出現在哪裏呢？zk當然可以出現在任何地方。但我們找的時候一般找最後面的，即xm和yn。更近一步了，假設zk=xm，那麼當zk=yn時我們只要去在<x1,..,xm-1>,<y1,...,yn-1>中找zk-1了。當然，還有其它可能情況，即zk
≠xm，此時我們肯定知道xm≠yn，則我們可以直接的在<x1,..,xm-1>,<y1,...,yn-1>中找zk了。當然，當zk≠xm時，也可以寫成這樣：在<x1,..,xm-1>,<y1,...,yn>中找zk！對於，zk≠yn，就和上面一步的一樣了。
下面爲對解的遞歸式子：令sub(i,j)爲X長度爲i，Y長度爲j的最終公共子序列
{ sub(i-1,j-1) +xi if xi = yj ①
sub(i,j) = |
{ max( sub(i-1,j), sub(i,j-1) ) others ②//這裏在實際的時候我們是不知道zk是否等於xi，所以只有計算全部來找。
第三步：遞歸式解出來了，那麼就來證明最優子結構的存在了。當爲①時，我們知道sub(i-1,j-1)一定是這個子問題的最優解，所以原問題包含了子問題的解。當選②時，原問題的最優解就是這個子問題的最優解，所以也包含了子問題的最優解。因此，這是具有最優子結構的。
最後是要找重疊子問題，這裏只要你多寫幾步就能看到很多問題是重複的計算了。
根據遞歸，我們能寫出一個很優美但時間運行漫長的算法。
這裏要利用動態規劃的思想，那麼就要用記錄的方式來省下計算的時間，且想到用自底向上的算法。
那麼在動態過程中我們要記錄什麼呢？就是，我們先求兩個長度爲1的；然後求一個長度爲1，另一個長度爲2的，。。。。。那麼過程中我們需要記錄這樣的最優解式子。我們記爲sub(i,j).即遞歸狀態中的記法了。
下面爲算法的僞代碼描述：
//initial
sub(1,1...n) = 0 ;
sub(1...m,1) = 0 ;
k = 1 ;
for i =1:m
for j=1:n
if xi == yj
sub(i,j) = sub(i-1,j-1) + 1
road(k) = xi
k = k + 1
else
if sub(i-1,j) ≥sub(i,j-1)
sub(i,j) = sub(i-1,j)
else
sub(i,j) = sub(i,j-1)
如果要求我們打印解呢？這裏我們只求出了解的最大長度值，而沒有記錄解的最優路徑。那麼，該怎麼記錄呢？我們可以用一個m長的數組來記錄。即road(m)。