LintCode 152 買賣股票的最佳時機 IV

LintCode 152 買賣股票的最佳時機 IV

題目要求：

假設你有一個數組，它的第i個元素是一支給定的股票在第i天的價格。設計一個算法來找到最大的利潤。你最多可以完成 k 筆交易。
注意事項：
你不可以同時參與多筆交易(你必須在再次購買前出售掉之前的股票)

給出樣例如下：

給定價格 = [4,4,6,1,1,4,2,5]， 且 k = 2， 返回 6.

題目給出的框架如下：

class Solution {
public:
    /**
     * @param k: An integer
     * @param prices: Given an integer array
     * @return: Maximum profit
     */
    int maxProfit(int k, vector<int> &prices) {
        // write your code here
    }
};

---

解題思路

這道題和上一道題LintCode 151 買賣股票的最佳時機 III 很相似，建議先從上一道題入手。區別在於：上一道題只要求兩次交易，而這道題沒有指定交易次數。
對於上一道題，我們的處理方法是用兩個buy和sell矩陣分別記錄第一次和第二次買賣的狀態。但是這道題的交易次數是k，我們不可能去建k個矩陣來存儲k次的buy和sell，那會消耗大量的空間。
所以問題就變成了：如何只建有限個矩陣來存儲呢？
我們先觀察上一道題的狀態轉移方程：

firstBuy[i] = max(firstBuy[i - 1], -prices[i])

firstSell[i] = max(firstSell[i - 1], firstBuy[i - 1] + prices[i])

secondBuy[i] = max( secondBuy[i - 1], firstSell[i - 1] - prices[i])

secondSell[i] = max( secondSell[i - 1], secondBuy[i - 1] + prices[i])

發現什麼問題了沒有？

第 i 天的結果只與第 i - 1 天的結果有關，與 i - 1 之前的天數完全無關！

既然如此，更新只需要用到前一天的數據，那麼我只用兩個矩陣buy[k]和sell[k]來存儲當天的k次交易不就行了？！
設第i-1天爲第j次買的狀態時收入爲buy[j]，第j次賣的狀態時收入爲sell[j]，那麼第i天第j次買的狀態仍然爲buy[j]，它的更新有兩種情況：

一種是前一天已經第j次購買，對應於前一天的buy[j]；
一種是前一天已經第j-1次賣出，第i天買入，對應於前一天的sell[j-1]減去當天的價格prices[i]。

那麼很容易得到當天狀態爲購買的話收入爲：

buy[j] = max(buy[j], sell[j - 1] - prices[i])

同理可得：第i天第j次賣出的狀態sell[j]也有兩種情況：

一種是前一天已經第j次賣出，第j天不買，對應於前一天的sell[j]；
一種是前一天已經第j次買入，第j天賣出，對應於前一天的buy[j]加上當天的價格prices[i]

得到當天狀態爲賣出的話收入爲：

sell[j] = max(sell[j], buy[j] + prices[i])

但這是不是就結束了呢？

注意注意，前方高能！

我們看到第 i 天的buy[j]需要用到前一天的sell[j-1]，但是如果我們從j=0開始遍歷的話，此時得到的sell[j-1]已經變成了第 i 天的sell[j-1]了啊。

解決方法

從j=k-1開始遍歷到1，那麼修改buy[j]和sell[j]之時，就能保證sell[j-1]還是前一天的值

最後就是一些初始化的工作了，特別需要注意buy[0]和sell[0]的更新：

buy[0] = max(buy[0], -prices[i])

sell[0] = max(sell[0], buy[0] + prices[i])

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代碼實現

代碼實現如下：

class Solution {
public:
    /**
     * @param k: An integer
     * @param prices: Given an integer array
     * @return: Maximum profit
     */
    int maxProfit(int k, vector<int> &prices) {
        // write your code here
        const int len = prices.size();
        if (len == 0)
            return 0;
        if (k > len / 2)
            k = len / 2;
        const int count = k;
        int buy[count];
        int sell[count];
        for (int i = 0; i < count; ++i) {
            buy[i] = -prices[0];
            sell[i] = 0;
        }
        for (int i = 1; i < len; ++i) {
            buy[0] = max(buy[0], -prices[i]);
            sell[0] = max(sell[0], buy[0] + prices[i]);
            for (int j = count - 1; j > 0; --j) {
                buy[j] = max(buy[j], sell[j - 1] - prices[i]);
                sell[j] = max(buy[j] + prices[i], sell[j]);
            }
        }
        return sell[count - 1];
    }
};