6.10 概率分析和随机算法

一、随机分析

考虑一个雇佣问题，面试n个人，在面试的过程中，只要更为优秀的人出现，就雇佣更为优秀的人，但是更换人选需要花费一笔费用c，现在估算这笔费用。

这个问题相当于维护一个当前的“获胜者”。

最坏的情形当然是替换n次，那么费用就会是cn.

随机的情况：

第i个人比前i-1个人更为优秀的概率为1/i，那么期望E[X] = 1/1 +1/2 +1/3 + …… = ln n + O(1)，也就是说，随机情况下，平均起来大概雇佣了lnn个人，费用为clnn。

二、随机算法

如何产生一个随机排列的数组？只需证明或等等同排列的概率为1/n!。

方案一：给原数组中的每个成员赋一个代表优先级值，这个值随机产生，然后按照优先级排序

PERMUTE-BY-SORTING(A)
n = A.length
let P[1..n] be a new array
for i =1 to n
    P[i] = RANDOM(1,n^3) # 1~n^3是为了让P中所有优先级尽可能唯一
sort A, using P as sor keys #花费代价可为Θ（nlgn）

若想得到一个固定排序的序列，那么概率为1/n * 1/(n-1) * 1/(n-2) * ... * 1/2 * 1/1 = 1/n!，得证。

方案二：原址排列给定数组

RANDOMIZE-IN-PLACE(A)
n = A.length
for i = 1 to n
    swap A[i] with A[RANDOM(i,n)]

对于前i-1个位置上的某个固定的排序，它出现的概率为后面n-i+1个位置上的排序的排序种类/总的排序种类，即(n-i+1)!/n!。

当i = n时，给定排列的概率为1/n!.

所以只需要证明方案二的方法中前(i-1)个位置上的排序被包含的概率为(n-i+1)!/n!即可。使用数学归纳法可证,1/(n-i+1) * (n-i+1)!/n! = (n-i)!/n!。

方案二要比方案一好，因为它没有新建优先级数组，节省了空间，也没有进行比较。不过随机换位置的时间开销没办法估计。