FERMI-week4

Lecture1
固定收益市場
2012Q3，美國的債券市值約35.3trillion，而股票市場大約26trillion
固定收益證券的衍生品市場也是非常巨大的。

短期利率short-rate rt 指的是在時刻t 和t+1 之間的無風險利率。
{rt} 是一個隨機過程，但在時刻t 是已知的。

對證券定價的核心思想是保證無套利。
實際中衍生品的定價是根據已知的流動資產的價格來外推得到非流動資產的價格。

以zero-coupon bond (zcb)零息債券爲例
Zki,j 指在時刻i ，狀態j ，時刻k 到期的zcb的價格。
節點Ni,j 即是時刻i 的狀態j 。ri,j 表示在節點Ni,j 的短期利率，從時刻i 到時刻i+1 。
1.無息
Zi,j=11+ri,j[qu×Zi+1,j+1+qd×Zi+1,j](1)
爲時刻i 狀態j 時的zcb價格，這裏的Q 爲風險中性概率，即滿足：
qu>0,qd>0,qu+qd=1
(1) 表明無套利。若存在套利，則由於RHS是嚴格非負的，而此時LHS是不可能小於0的，故矛盾。
2.有息
Zi,j=11+ri,j[qu×(Zi+1,j+1+Ci+1,j+1)+qd×(Zi+1,j+Ci+1,j)](2)
Ci+1,j 表示在時刻i+1 狀態j 下支付的coupon，同理可知(2) 不存在type A和B的套利。

---

Lecture2
現金賬戶 Cash account 在t 時刻的價值爲：Bt ，假定B0=1
現金賬戶不是無風險的，因爲對於s>1 ，在t 時刻，Bt+s 的值是不確定的。
Bt+1 是無風險的，因爲在t 時刻即已知此時刻的利率
Bt=(1+r0,0)(1+r1)⋯(1+rt−1)
Bt+1=(1+r0,0)(1+r1)⋯(1+rt−1)(1+rt)
故有：Bt/Bt+1=1/(1+rt)

Zi,j=11+ri,j[qu×Zi+1,j+1+qd×Zi+1,j]=EQi[Zi+11+ri]=EQi[BtBt+1Zi+1]
即ZtBt=EQt[Zt+1Bt+1]

由ZtBt=EQt[Zt+1Bt+1]=EQt[EQt+1[Zt+2Bt+2]]=⋯=EQt[⋯EQt+s[Zt+sBt+s]]
根據the law of iterated expectations可得：
ZtBt=EQt[Zt+sBt+s](3)
對於任意的不支付coupon成立，這是一個鞅過程。

對於支付coupon的情況如下：
Zt,j=11+rt,j[qu×(Zt+1,j+1+Ct+1,j+1)+qd×(Zt+1,j+Ct+1,j)]=EQt[Zt+1+Ct+11+rt,j]
即有ZtBt=EQt[Ct+1Bt+1+Zt+1Bt+1]=EQt[Ct+1Bt+1+EQt+1[Ct+2Bt+2+Zt+2Bt+2]]=⋯=EQt[∑i=t+1t+sCiBi+Zt+sBt+s](4)

根據(3)(4) 可以對二叉樹模型進行反向定價，即知道zcb的終值，可以根據利率的二叉樹對zcb進行反向定價。

---

Lecture3
固定收益衍生品定價：期權和債券 options and bonds
根據短期利率spot rate的二叉樹，以及zcb的終值，反向計算出zcb價格的二叉樹。根據這兩個二叉樹，結合期權的類型（call or put）和執行價格strike price計算期權價格的二叉樹。和week3的思路一致。

---

Lecture4
固定收益結合遠期forward定價
交易在每一期的利息支付後立刻進行。例如對在時刻t=4 進行交易的forward on a coupon-bearing bond進行定價，該遠期在t=6 時刻到期。
即有：
0=EQ0[Z64−G0B4]
即：
G0=EQ0[Z4B4]EQ0[1B4](4.1)

---

Lecture5
固定收益結合期貨futures定價
Fk 指的是在時刻n 到期的期貨合約在時刻k 的價格。
Sk 指的是期權標的資產在時刻k 的價格。
當期權在時刻t 到期時，應有Fn=Sn ，即在到期日的期權價格應和現貨市場的相同證券的價格相等。

在時刻n−1 ，期貨價格應符合：
0Bn−1=EQn−1[Fn−Fn−1Bn]=EQn−1[Sn−Fn−1Bn]
由於在到期日，期貨和標的資產的價格相等，因此在t−1 時刻，其價格應爲回報的期望折現，同時由於期貨的買方賣方處於公平同等地位（即期貨的價格是無套利的，故對於任何個體而言，處於期貨的long還是short方均是一致的），故初始價格爲0。
由於Bn=Bn−1(1+rn−1) 和Fn−1 在時刻n−1 都是已知的，故有：
Fn−1=EQn−1[Fn]
故對於0≤k<n ，有：
Fk=EQk[Fk+1]
根據the law of iterated expectations，可以得到：
F0=EQ0[Fn]=EQ0[Sn](5.1)

對比(4.1) 和(5.1) ，可知在0 時刻的Bn 是已知時，(4.1) 和(5.1) 相等，即當存在確定的無風險利率時，相同到期時間的遠期和期貨價格相等。
例子中給出的計算，遠期的價格略高於期貨的價格，會不會一直高於期貨的價格（？）（應該不會）

---

Lecture6
Caplets和Floorlets
Caplet和歐式看漲期權類似，標的資產不是某個股票而是利率rt
即在τ 時刻到期的執行利率(strike)爲c 的caplet的收益爲：(rτ−1−c)+
floorlet和caplet相反，收益爲：(c−rτ−1)+

cap指的是具有相同執行利率(strike)的一系列caplets
floor指的是具有相同執行利率(strike)的一系列floorlets

二叉樹的計算方法仍和之前相同，即根據二叉樹的終值，用風險中性概率往回計算。

---

Lecture7
swap和swaption
A swaption is an option on swap.
swaption和期權(option)類似，即持有者擁有在到期時間選擇是否進入該swaption指定的swap的權利。若在到期時刻，swaption的價值大於該節點的swap的價值，則持有者選擇進入該swap。
這裏的swap一般指的是利率掉期。
在swap的二叉樹模型計算中，應將該節點的利率和strike之差考慮在內，即將此差值和風險中性期望相加後，再折現，即爲前一節點的swap的價格。但是，swap在第0期時的價格不應考慮利率和strike的差值。
對swaption進行定價時，先考慮swaption到期時各節點的價格，若價格小於等於0，則swaption的持有者將選擇不執行。因此對於swaption而言，在到期時刻的所有節點的價格都應不小於0，如果小於0，則應置0。
再由這些節點的值，根據風險中性，反向計算swaption在到期日之前時刻的各個節點的價值。但此時不應將相應節點的利率和strike之差考慮在內，因爲只有在該節點進入swap，纔會有這個差額得到的溢價。

---

Lecture8