計蒜課：整數轉換成羅馬數字

題目

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給定一個整數 num，將整數轉換成羅馬數字。
如 1, 2, 3, 4, 5 對應的羅馬數字分別爲I，II，III，IV，V等，更詳細的說明見此 鏈接。

輸入格式

第一行輸入一個整數 num(1≤num≤3999)。

輸出格式

輸出 num 對應的羅馬數字。

樣例輸入

123

樣例輸出

CXXIII

分析

知識準備

羅馬數字_百度百科#記數方法

M	D	C	L	X	V	I
1000	500	100	50	10	5	1

1. 相同的數字連寫、所表示的數等於這些數字相加得到的數、如：Ⅲ=3；
2. 小的數字在大的數字的右邊、所表示的數等於這些數字相加得到的數、 如：Ⅷ=8、Ⅻ=12；
3. 小的數字（限於 I、X 和 C）在大的數字的左邊、所表示的數等於大數減小數得到的數、如：Ⅳ=4、Ⅸ=9；
4. 正常使用時、連寫的數字重複不得超過三次

基本思路

要將一個整數num(1≤num≤3999)轉成羅馬數字，首先我們可以對它進行分解：

進制數	M	D	C	L	X	V	I
數值	1000	500	100	50	10	5	1
數值表示	R0	R1	R2	R3	R4	R5	R6
個數	a0	a1	a2	a3	a4	a5	a6

num=∑aiRi，i=0→6

其中

ai=(num−∑ajRj)/Ri，j=0→i−1

上式的除法爲整數整除。這裏的分解是從大進制到小進制分解。一般情況下，按第1，2條規則，a_i爲多少，對應的羅馬字符就有多少個；但由於第3，4條規則的限制，所以我們還需要對a_i進行修正以及進制數位置進行修正。

觀察發現

根據上面的分解公式可知：
1. 對於進製爲D(500), L(50), V(5)來說，0≤a_i≤1，因爲如果超過1，就會向前進位；
對於M(1000), C(100), X(10), I(1)l來說，0≤a_i≤4，因爲如果超過4，就會向前進位；
2. 當一個數某部分需要用到進制相減來表示時，可以相減的兩個進制數距離不會超過2個進制距離。否則，這個數一定可以分成出中間的進制，可以用枚舉去簡單驗證；
3. 被減的進制數一定是I(1), X(10), C(100)

特殊情況處理

特殊情況主要發生在要進行進制相減導致進制數位置的變化，有兩類這樣的問題：
1. 相鄰兩個進制相減，比如 4：IV，允許我記爲“4”問題
2. 相隔1個進制相減，比如 9：IX，記爲“9”問題，這種情況相減的時候需要向前借位，高位需要減1。

有更好的算法，歡迎留言聯繫^_^

實現

我是用c語言實現的（事實上文件保存爲c++）

#include <stdio.h>
int main(int argc, char const *argv[]) {
    char RomanSym[7] = {'M', 'D', 'C', 'L', 'X', 'V', 'I'};
    int  RomanNum[7] = {1000, 500, 100, 50, 10, 5, 1};
    int  a = 0;
    int  k[7] = {0};
    char output[100];  // 將翻譯成的羅馬數字字符串輸出到output
    scanf("%d", &a);
    for (int i = 0; i < 7; i++) {
        k[i] = a / RomanNum[i];
        a -= k[i] * RomanNum[i];
    }
    a = 0;  // 重新利用a，作爲數組下標
    for (int i = 6; i >= 0; i--) {
        // 逆序
        if (k[i] == 4 && k[i-1] == 0) {
            // "4"問題
            output[a++] = RomanSym[i-1];
            output[a++] = RomanSym[i];
        } else if (k[i] == 4 && k[i-1] == 1) {
            // "9"問題
            k[i-1]--; // 向前借位需要減1
            output[a++] = RomanSym[i-2];
            output[a++] = RomanSym[i];
        } else {
            // 其他情況循環輸出即可
            for (int j = 0; j < k[i]; j++) {
                output[a++] = RomanSym[i];
            }
        }
    }
    // 逆序輸出
    for (int i = a - 1; i >= 0; i--) {
        putchar(output[i]);
    }
    putchar('\n');
    return 0;
}