證明：歐幾里得算法

假設：

1. r=pmodq ，即 p=kq+r （p，q，k，r∈N+ 且 p>q ）
2. d 爲 p，q，r 任意二者的公約數
3. p，q 與 q，r 的公約數集合分別爲 A，B

證明：

∵ p=kq+r
∴ pd=kqd+rd
∵ pd，kqd，rd 至少有兩個爲整數
∴ pd，kqd，rd 都爲整數
∴ 若 d 爲 p，q 的公約數，則 d 必爲 q，r 的公約數；若 d 爲 q，r 的公約數，則 d 必爲 p，q 的公約數
∴ p，q 的公約數與 q，r 的公約數完全相同，即 A=B
∴ p，q 的最大公約數與 q，r 的最大公約數相同，即gcd(p，q)=gcd(q，r)