堆排序

    堆排序是一種很巧妙的排序方法，其原理是把數組當做一顆完全二叉樹，位置爲0的元素爲樹的根，位置爲n的元素，其左子節點的位置爲2n+1，右子節點的位置爲2n+2。

    堆按照數據的排列順序分爲最大堆和最小堆，堆的性質爲：最大堆的每個節點的值都不小於左右子節點的值，因此位置爲0的元素爲數值最大的元素，最小堆相反。

    堆排序的核心操作在於維護堆的上述性質，該操作稱爲heapify，既對任何節點n，檢查其是否滿足上述性質，若不滿足，在該節點與兩個子節點中找到最大元素m，與節點n交換，交換後，對於m節點繼續進行heapify操作，直到遍歷到葉節點。對於一個任意的數組，視其爲完全二叉樹，從下至上對所有內部節點進行heapify操作，堆便建立起來了。

    若要對某數組使用堆排序，首先要建立堆，按照升序排列便建立最大堆，按照降序排列便建立最小堆，建好堆後，將0位置的元素與數組最後一個元素進行交換，此時數組最後一個元素爲最大元素，然後對位置爲0的元素進行heapify操作，可保證前面所有元素組成的數組仍爲最大/最小堆，循環以上操作，數組就可以排序好。

    堆還可以用作優先級隊列。關於堆，《算法導論》中有詳細的論述。

 

    以下爲示例代碼，建立一個動態數組，隨機填充數據，然後進行堆排序，最後進行驗證。

    代碼僅供參考，某些分支未進行內存釋放，請無視。

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <memory.h> #include <Windows.h> /* 統計計數 */ int s = 0; /* 獲取父節點、左右子節點 */ int father( int i ) { return (i-1)/2; } int child_left( int i ) { return i*2+1; } int child_right( int i ) { return i*2+2; } /* 維護堆的性質 */ void heapify( int * p, int len, int i ) { int max = i; int cl = child_left(i); int cr = child_right(i); if ( cl < len && p[max] < p[cl] ) { max = cl; } if ( cr < len && p[max] < p[cr] ) { max = cr; } if ( max != i ) { int t = p[max]; p[max] = p[i]; p[i] = t; heapify( p, len, max ); } s++; return; } /* 堆排序示例 */ void heapsort( int len ) { int * p = (int *) new int [len]; if ( p == NULL ) { return; } s = 0; /* 生成隨機數組 */ srand( GetTickCount() ); for ( int i = 0; i < len; i++ ) { p[i] = rand(); } /* 構建最大堆 */ for ( int i = len -1; i > 0; i -= 2 ) { heapify( p, len, father(i) ); } /* 驗證堆 */ for ( int i = 0; i < len; i++ ) { int cl = child_left(i); int cr = child_right(i); if ( cl < len && p[cl] > p[i] ) { printf("Failed to create heap!/n"); return; } if ( cr < len && p[cr] > p[i] ) { printf("Failed to create heap!/n"); return; } } /* 從小到大排序 */ for ( int i = len; i > 0; i-- ) { int t = p[0]; p[0] = p[i-1]; p[i-1] = t; heapify( p, i-1, 0 ); } /* 驗證結果 */ for ( int i = 1; i < len; i++ ) { if ( p[i] < p[i-1] ) { printf("Failed!/n"); return; } } delete [] p; printf("Succeeded! %d/n",s); return; }

    main函數代碼如下

#include "test.h" int main( int argc, char ** argv ) { for ( int i = 0; i < 1000; i++ ) { heapsort(10000); } return 0; }

    堆排序的時間複雜度爲O(nlgn)，由此程序可以進行觀察。空間複雜度與樹的高度成正比。