線段樹簡介

一 線段樹 在一類問題中，我們需要經常處理可以映射在一個座標軸上的一些固定線段，例如說映射在 OX 軸上的線段。由於線段是可以互相覆蓋的，有時需要動態地取線段的並，例如取得並區間的總長度，或者並區間的個數等等。一個線段是對應於一個區間的，因此線段樹也可以叫做區間樹。 1.1 線段樹的構造思想 線段樹處理的是一定的固定線段，或者說這些線段是可以對應於有限個固定端點的。處理問題的時候，首先抽象出區間的端點，例如說 N 個端點 ti(1 ≤ i ≤ N) 。那麼對於任何一個要處理的線段（區間） [a,b] 來說，總可以找到相應的 i,j ，使得 ti=a,tj=b,1 ≤ i ≤ j ≤ N 。這樣的轉換就使得線段樹上的區間表示爲整數，通過映射轉換，可以使得原問題實數區間得到同樣的處理。下圖顯示了一個能夠表示 [1 ， 10] 的線段樹： 線段樹是一棵二叉樹，樹中的每一個結點表示了一個區間 [a,b] 。每一個葉子節點上 a+1=b, 這表示了一個初等區間。對於每一個內部結點 b-a>1 ，設根爲 [a,b] 的線段樹爲 T(a,b), 則進一步將此線段樹分爲左子樹 T(a,(a+b)/2), 以及右子樹 T((a+b)/2,b), 直到分裂爲一個初等區間爲止。 線段樹的平分構造，實際上是用了二分的方法。線段樹是平衡樹，它的深度爲 lg(b-a) 。 如果採用動態的數據結構來實現線段樹，結點的構造可以用如下數據結構： Type Tnode=^Treenode; Treenode=record B,E:integer; Count:integer; LeftChild,Rightchild:Tnode; End; 其中 B 和 E 表示了該區間爲 [B,E] ； Count 爲一個計數器，通常記錄覆蓋到此區間的線段的個數。 LeftChild 和 RightChild 分別是左右子樹的根。 或者爲了方便，我們也採用靜態的數據結構。用數組 B[] ， E[] ， C[] ， LSON[] ， RSON[] 。設一棵線段樹的根爲 v 。那麼 B[v],E[v] 就是它所表示區間的界。 C[v] 仍然用來作計數器。 LSON[v] ， RSON[v] 分別表示了它的左兒子和右兒子的根編號。 注意，這只是線段樹的基本結構。通常利用線段樹的時候需要在每個結點上增加一些特殊的數據域，並且它們是隨線段的插入刪除進行動態維護的。 這因題而異，同時又往往是解題的靈魂。 1.2 線段樹處理數據的基本方法 線段樹的最基本的建立，插入和刪除的過程，以靜態數據結構爲例。 建立線段樹（ a,b ） : 設一個全局變量 n ，來記錄一共用到了多少結點。開始 n=0 procedure BUILD(a,b) begin n ← n+1//n 記錄一共用到了多少結點 v ← n B[v] ← a E[v] ← b C[v] ← 0 if b – a>1 then begin LSON[v] ← n+1 // 節點編號 BUILD(a,) // 注意 N 在這裏變化了 RSON[v] ← n+1// 節點編號 BUILD( ,b) end end 將區間 [c,d] 插入線段樹 T(a,b), 並設 T(a,b) 的根編號爲 v ： procedure INSERT(c,d;v) begin if c≤B[v] and E[v] ≤ d then C[v] ← C[v]+1 else if c< then INSERT(c,d;LSON[v]); if d> then INSERT(c,d;RSON[v]); end// 如果跨區間了 我們將看到兩次插入 對於此算法的解釋：如果 [c ， d] 完全覆蓋了當前線段，那麼顯然該結點上的基數（即覆蓋線段數）加 1 。否則，如果 [c ， d] 不跨越區間中點，就只對左樹或者右樹上進行插入。否則，在左樹和右樹上都要進行插入。注意觀察插入的路徑，一條待插入區間在某一個結點上進行“跨越”，此後兩條子樹上都要向下插入，但是這種跨越不可能多次發生。插入區間的時間複雜度是 O(logn) 。 在線段上樹刪除一個區間與插入的方法幾乎是完全類似的： 將區間 [c,d] 刪除於線段樹 T(a,b), 並設 T(a,b) 的根編號爲 v ： procedure DELETE(c,d;v) begin if c≤B[v] and E[v] ≤ d then C[v] ← C[v]-1 else if c< then DELETE(c,d;LSON[v]); if d> then DELETE(c,d;RSON[v]); end 特別注意 ：只有曾經插入過的區間才能夠進行刪除。這樣才能保證線段樹的維護是正確的。例如，在先前所示的線段樹上不能插入區間 [1 ， 10] ，然後刪除區間 [2 ， 3] ，這顯然是不能得到正確結果的。 線段樹的作用主要體現在可以動態維護一些特徵，例如說要得到線段樹上線段並集的長度，增加一個數據域 M[v] ，討論： 如果 C[v]>0,M[v] = E[v]-B[v]; //yes C[v]=0 且 v 是葉子結點， M[v]=0 ； C[v]=0 且 v 是內部結點， M[v]=M[LSON[v]]+M[RSON[v]]; 只要每次插入或刪除線段區間時，在訪問到的結點上更新 M 的值，不妨稱之爲 UPDATA ，就可以在插入和刪除的同時維持好 M 。求整個線段樹的並集長度時，只要訪問 M[ ROOT] 的值。這在許多動態維護的題目中是非常有用的，它使得每次操作的維護費用只有 logn 。 類似的，還有求並區間的個數等等。這裏不再深入列舉。 1.3 應用的優勢 線段樹的構造主要是對區間線段的處理，它往往被應用於幾何計算問題中。比如說處理一組矩形問題時，可以用來求矩形並圖後的輪廓周長和麪積等等，比普通的離散化效率更高。這些應用可以在相關資料中查到。這裏不作深入。 1.4 轉化爲對點的操作 線段樹處理的是區間線段的問題，有些統計問題處理的往往是點的問題。而點也是可以理解爲特殊的區間的。這時往往將線段樹的構造進行變形，也就是說可以轉化爲記錄點的結構。 變形： 將線段樹上的初等區間分裂爲具體的點，用來計數。即不存在 (a,a+1) 這樣的區間，每個點分裂爲 a 和 a+1 。同時按照區間的中點分界時，點要麼落在左子樹上，要麼落在右子樹上。如下圖： 原線段數記錄基數的 C[v] 這時就可以用來計算落在定區間內的點個數了。原搜索路徑也發生了改變，不存在“跨越”的情況。同時插入每個點的時候都必須深入到葉結點，因此一般來說都要有 logn 的複雜度。 應用這樣的線段樹一方面是方便計數。另一方面由於它實際上是排序二叉樹，所以容易找出最大和最小來。下面就看一個找最大最小的例子。 [ 例一 ]PROMOTION 問題（ POI0015 ） 問題大意： 一位顧客要進行 n （ 1 ≤ n ≤ 5000 ）天的購物，每天他會有一些帳單。每天購物以後，他從以前的所有帳單中挑出兩張帳單，分別是面額最大的和麪額最小的一張，並把這兩張帳單從記錄中去掉。剩下的帳單留在以後繼續統計。輸入的數據保證，所有 n 天的帳單總數不超過 1000000 ，並且每份帳單的面額值是 1 到 1000000 之間的整數。保證每天總可以找到兩張帳單。 解決方法： 本題明顯地體現了動態維護的特性，即每天都要插入一些面額隨機的帳單，同時還要找出最大和最小的兩張。不妨建立前面所說的線段樹，這棵線段樹的範圍是 [1 ， 1000000] ，即我們把所有面額的帳單設爲一個點。插入和刪除一份帳單是顯然的。如何找到最大的帳單呢？顯然，對於一個樹 v 來說，如果 C[LSON[v]]>0, 那麼樹 v 中的最小值一定在它的左子樹上。同樣，如果 C[RSON[v]]>0 ，它的最大值在右子樹上；否則，如果 C[LSON[v]]=0 ，那麼最大最小的兩份帳單都在右子樹上。所以線段樹的計數其實爲我們提供了線索。顯然對於一個特定面額來說。它的插入，刪除，查找路徑是相同的，長度爲樹的深度，即 log1000000=20 。如果總共有 N 張帳單，那麼考慮極限時的複雜度爲 N*20+n*20*2 。這比普通排序的實現要簡單得多。普通排序是 (N*n*20); 本題還可以採取巧妙的辦法，線段樹不一定要存帳單的具體面額。由於我們對 1000000 種面額都進行了保存，所以線段樹顯得比較龐大。採取一種方法：我們用 hash 來保存每一種面額的帳單數目，然後對於一個具體的帳單，例如面額爲 V ，我們在線段樹中保存 V/100 的值，也就是說，我們把連續的 100 種面額的帳單看成是一組。由於 V 的範圍是 [1..1000000] ，所以線段樹中有 10000 個點。在找最大的數的時候，首先找到最小的組，然後在 hash 裏對這個組進行搜索，顯然這個搜索的規模不會超過 100 。由於線段樹變小了，所以樹的深度只有 14 左右，整個問題的複雜度極限爲 N*14+n*14*100*2 ，對於問題的規模來說，仍然是高效率的。但這樣做比前種方法在一定程度上節省了空間。同時實際上也提醒了我們對線段樹應該加以靈活的應用。 本文來自CSDN博客，轉載請標明出處：http://blog.csdn.net/oopos/archive/2007/10/14/1824578.aspx