大數的計算

這類問題的相同之處在於，數的大小超出了原生數據類型所能表示的範圍。如果用Python或者Java，就不必再看下去了。。。。。。

大數的模冪運算

給定x和y，求x的y次冪模k的餘數

unsigned int quick_power_mod(unsigned int x, unsigned int y, unsigned int k)
{
    unsigned int res = 1;
    x %= k;
    while(y != 0)
    {
        if(y & 1)
        {
            res = (res * x) % k;
        }
        y >>= 1;
        x = (x * x) % k;
    }
    return res;
}

這種做法的道理如下，指數y的二進制表示爲：

y=a0⋅20+a1⋅21+a2⋅22+⋯+an⋅2n,ai∈{0,1}$$y=a_0\cdot 2^0+a_1\cdot 2^1+a_2\cdot 2^2+\cdots +a_n\cdot 2^n,a_i\in \{0,1\}$$

那麼

xy=xa0⋅20+a1⋅21+a2⋅22+⋯+an⋅2n=xa0⋅20⋅xa1⋅21⋅xa2⋅22⋅⋯⋅xan⋅2n,ai∈{0,1}$$x^y=x^{a_0\cdot 2^0+a_1\cdot 2^1+a_2\cdot 2^2+\cdots +a_n\cdot 2^n}=x^{a_0\cdot 2^0}\cdot x^{a_1\cdot 2^1}\cdot x^{a_2\cdot 2^2}\cdot \cdots \cdot x^{a_n\cdot 2^n},a_i\in \{0,1\}$$

又因爲模運算有如下性質

(a⋅b)modc=((amodc)(bmodc))modc$$(a\cdot b)modc=((amodc)(bmodc))modc$$

於是我們有

xymodk=((xa0⋅20modk)⋅(xa1⋅21modk)⋅(xa2⋅22modk)⋅⋯⋅(xan⋅2nmodk))modk,ai∈{0,1}$$x^{y}modk=((x^{a_0\cdot 2^0}modk)\cdot (x^{a_1\cdot 2^1}modk)\cdot (x^{a_2\cdot 2^2}modk)\cdot \cdots \cdot (x^{a_n\cdot 2^n}modk))modk,a_i\in \{0,1\}$$

該算法即在按照上式從左到右一項一項的計算。體現爲，遍歷y的每一個二進制位，如果該位爲1，將當前的計算結果乘以當前x的值並求餘，如果該位爲0，則不乘或者說乘以1；每遍歷y的一位，將x做一次平方，對應着上式中依次乘2的x的指數。

大數的進制轉換

給定a進制的數x（字符串形式），轉換爲b進制的數y

// big-endian for input
// small-endian for output
unsigned int convert_base(std::vector<unsigned int> &from_num, std::vector<unsigned int> &to_num, unsigned int from_base, unsigned int to_base)
{
    for(int i = 0; i < from_num.size(); )
    {
        int carry = 0;
        for(int j = i; j < from_num.size(); j++)
        {
            int tmp = (from_num[j] + carry * from_base) % to_base;
            from_num[j] = (from_num[j] + carry * from_base) / to_base;
            carry = tmp;
        }
        to_num.push_back(carry);
        while(from_num[i] == 0)
        {
            i++;
        }
    }
}

此處使用的是除k取餘法，輸入的vector也被改變了，用來存儲每步計算的商。