第八講--圖以及最小生成樹
複習
1.樹有哪幾種表示方法
2.樹、森林、二叉樹之間轉換中左右孩子的定義
3.54 32 47 49 51 48構造二叉排序樹，並刪除47，然後計算成功和失敗的平均查找長度。
4.a:30 s:31 b:20 c:10 x:3 q:7 d:6 構造哈夫曼樹並計算WPL
5.爲什麼哈夫曼樹中沒有一個碼是其他碼的前綴
6.n個結點構造哈夫曼以後，有多少個結點
一、圖
1.1 圖的一些定義
圖一般可以分爲有向圖和無向圖（樹可以是空樹，但是圖不能是空圖）。有向圖也就是圖中的邊是有方向的，邊集合一般是E={<1,2>,<2,1>,<3,1>}。無向圖最也就是圖中的邊是沒有方向的，邊集合一般是E={<1,2>,<3,2>,<3,1>}
（定義可以看書上，沒什麼好講的）。
1.什麼是完全圖。含有n個頂點的無向完全圖有幾條邊？
2.什麼是連通圖，什麼是極小連通子圖，什麼是極大連通子圖，這是針對有向圖還是無向圖。
3.什麼是強聯通圖，什麼是強聯通分量，這是針對有向圖還是無向圖
4.如果一個圖有n個頂點，並且有小於n-1條邊，那麼這個圖是連通的還是不連通的？
5.連通圖的生成樹是包含圖中全部頂點的一個極小連通子圖。也就是用最少的邊把所有頂點連起來，那麼最小的邊數是多少（如果有n個頂點）。
6.頂點的度，針對有向圖是什麼概念，針對無向圖是什麼概念。
7.無向圖全部頂點的度之和和邊數的關係是什麼
1.2 圖的存儲結構
圖主要的有兩種存儲結構，鄰接矩陣和鄰接鏈表（十字鏈表等那些野路子就不要記了）。看過書可能感覺得到，最近學到的線性表、棧、隊列、樹的存儲結構一般都是由兩種，一種是用數組存，一種是用鏈表存。
舉個栗子：
我們有如下關係：唐僧認識猴哥，猴哥認識玉皇 ，猴哥認識閻王，如來佛祖認識玉皇。
我們一共出現了唐僧、猴哥、玉皇，閻王，如來五個人。
圖也是如此，領接矩陣就是數組，只不過是二維數組，領接鏈表就是鏈表，只不過一個結點一個鏈表。
先看下領接矩陣：
#define MAX_VERTEX_NUM 20
typedef struct
{
char vexs[MAX_VERTEX_NUM];//點集
int arcs[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM]; //邊集
int vex_num,arc_num;
}MGraph,*Graph;
很簡單，arcs[2][3] 就是存的第3個結點和第4個結點（下標從0開始），當結點沒有權重這些東西時候（權重在最小生成樹和最短路里面用到），arcs[2][3] = 1表示 第3個結點和第4個結點是連通的，如果是無向圖的話，必還有arcs[3][2] = 1。有向圖的話就可以反向沒有。
這是一個無向圖，A認識B，肯定有B認識A（假設不存在A是你，B是王力宏，這種你認識他，他不認識你的情況）。主對角線都是0，這是我們的規定，方便統計。
再看下領接鏈表:
typedef char VertexType;
typedef int EdgeType;
#define MaxVex 100
typedef struct EdgeNode //邊表結點
{
int adjvex; //鄰接點域，存儲鄰接頂點對應的下標
EdgeType weight; //用於存儲權值，對於非網圖可以不需要
struct EdgeNode *next; //鏈域，指向下一個鄰接點
}EdgeNode;
typedef struct VertexNode //頂點表結點
{
VertexType data; //頂點域，存儲頂點信息
EdgeNode *firstedge; //邊表頭指針
}VertexNode,AdjList[MaxVex];
typedef struct
{
AdjList adjList;
int numVertexes,numEdges; //圖中當前頂點數和邊數
}GraphAdjList;
這個就比較麻煩了，考試不會考這些~看看就行，主要說下鄰接鏈表的一些概念：
領接表需要一個存結點的地方，和存邊的地方，好的一點是鄰接表裏面邊是增加一個邊才擴展一個空間的，就不會像鄰接矩陣一樣一開始就把所有可能存在的邊的空間申請好，因此對於稀疏矩陣，用鄰接鏈表存儲會比較好。那麼在有N個邊的情況下（有向圖裏面1->2 2->1算兩條邊，無向圖算一條邊），無向圖所需存儲空間爲O（|V| + 2|E|）（無向圖一條邊需要存兩次）,有向圖所需存儲空間爲O（|V| + |E|）
1.3 圖的遍歷
二叉樹的遍歷一般有四種（前序，中序，後序，層序)。因爲圖中和一個結點連接的其他結點之間沒有順序關係，所以圖的遍歷可以分爲深度優先遍歷（DFS，相當於二叉樹的前中後序遍歷）和廣度優先遍歷（BFS，相當於二叉樹的層序遍歷）。
這兩個代碼不太會考，主要考給一個圖，能不能把這兩種遍歷寫出來，這裏我們也把這兩個遍歷的代碼貼上來，感興趣的可以看看：
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<queue>
#include<iostream>
#define Max 9999999
using namespace std;
int Graph[100][100];
int visit[100];
int n,m;
void InitGraph()
{
for(int i = 0;i<n;i++)
{
for(int j = 0;j<n;j++)
{
if(i == j)
Graph[i][j] = 0;
else
Graph[i][j] = Max;
}
}
}
void DFS(int v)
{
printf("%d ",v);
visit[v] = 1;
for(int i =1;i<=n;i++)
{
if(visit[i] == 0)
DFS(i);
}
}
int main()
{
int a,b,v;
queue<int> q;
scanf("%d",&n);
InitGraph();
scanf("%d",&m);
for(int i= 0;i<m;i++)
{
scanf("%d%d%d",&a,&b,&v);
Graph[a][b] = v;
Graph[b][a] = v;
}
memset(visit,0,m*sizeof(int));
for(int i = 1;i<=n;i++)
{
if(visit[i]==0)
{
DFS(i);
}
}
printf("\n");
memset(visit,0,(m+1)*sizeof(int));
//下面是用到隊列的層序遍歷
q.push(1);
visit[1] = 1;
while(!q.empty())
{
int t = q.front();
printf("%d ",t);
q.pop();
for(int i = 1;i<=n;i++)
{
if(visit[i] == 0 && Graph[t][i] != 0 && Graph[t][i]!=Max)
{
q.push(i);
visit[i] = 1;
}
}
}
printf("\n");
return 0;
}
我們主要練習一下這兩個遍歷的結果：
遍歷時候，我們需要規定遍歷的起始點，這裏我們定爲0，（同一個結點連接的兩個結點，按照編號小的先遍歷，這是一般規矩，不按這個規則也不能算錯）這是一個有向圖。
深度遍歷結果爲：0,1,3,5,2,4
廣度遍歷結果爲：0,1,2,3,5,4
如果是無向圖呢？
深度遍歷結果爲：0,1,3,4,5,2
廣度遍歷結果爲：0,1,2,3,5,4
1.4 判斷一個圖是否是連通的
通過任何一個結點，都可以找到其他所有的結點，這樣的圖就是連通的。判斷連通時候，可以弄一個表，類似圖的領接矩陣一樣，如果連通就畫個對號，最後如果除去主對角線元素以外，都有對號就說明是連通的。
二、最小生成樹（必考大題）
前面的多是概念，看看書應該能懂。最小生成樹是必考大題。我當初學的時候，老是把最小生成樹和最短路弄混，尤其最小生成樹又一般分爲Kruskal和Prim兩種算法，最短路又有Dijkstra算法。就感覺很混，我在把最短路講完以後，對這倆東西做一個對比。
最小生成樹的意思是，現在處於祖國剛剛成立，國家還不是很富有，但是我們又希望走社會主義現代化道路，帶領人民實現共同富裕，俗話說要致富先修路，我們國家準備修一個鐵路網，連接祖國各地的主要城市，也就是圖中的這幾個城市。不同城市之間，修鐵路所要花費在圖中標明瞭（武漢到北京是1塊錢......西安到拉薩是3塊錢）。因爲我們還很窮，不能把這些鐵路都修好，只能修最少的鐵路，花最少的錢，使得每個城市都能到達另一個城市。那麼最少修幾條鐵路？一共花多少錢？
Prim算法，這是一個沒有大局觀念的拓荒者，
1.他總是會從一個結點開始，作爲他率先征服的領地，然後每次看看當前能修的鐵路里面，哪個鐵路造價最小（鐵路的一端是拓荒者所處的位置A，另一端是還未能抵達的城市B），最小的我們就修，然後把B加入拓荒者所征服的版圖內。
2.更新拓荒者能夠拓荒的鐵路造價表，因爲新加入的B->C，他有可能會比A->C的造價小，所以需要更新。
3.重複1-2直到沒有新的領地。
比如，最開始我們把北加入到征服的領地中，然後更新鐵路造價表，發現武的造價最低（紅色的），然後把武加入到已征服的領地中，更新鐵路造價表（因爲武漢可以達到拉薩和福州，而且比原來的造價小，所以更新）。這樣一直做下去就好了。
有一個問題是，圖中綠色的部分，我們知道北京到西安的造價是6，武漢加進來以後，武漢到西安的造價也是6。那麼我們最後修的到底是北京到西安的路呢還是武漢到西安的路呢？這就說明，最小生成樹的結果不止有一種。考試也會考把所有的可能畫出來（這裏起始點是告訴了且是固定的）。
可以看到Prim算法，只在乎當前的利益，每次都管當前的最小，最後達到全局最小，這也就是貪心的基本思想，其得到的結果是局部最優。
Kruskal算法，這是一個有大局觀念的規劃者
1.將所有的邊的造價進行排序，1,2,3,4,5,5,6,6,6,6。
2.看一下，當前最小的邊的兩個結點是不是連通的，如果不是連通的，就把這個邊加進來，然後這兩個點設置爲連通。
如果是連通的，看檢查下一條邊
3.直到所有邊都檢查完。
這裏檢查連通性，我們需要用到並查集算法，這是算法書裏講到的東西，建議可以把這個東西弄懂，有一個博客講的非常清楚，看一看絕對懂，我整個寫這一系列博客的靈感也來源於這篇博客：並查集。我就不再這篇博客面前班門弄斧了~。大家可以看看這個，說不定你會愛上算法~
最後綠色說明，這時候這四條邊都可以選擇。之所以在第四步->第五步時候，爲什麼不考慮造價爲5的結點？因爲北京-青島和武漢-青島，之前就是可以到達的，所以不能加造價爲5的結點。
最後，Kruskal的結果有4種~