複習
- prim、kruskal、dijkstral複雜度分別是多少？
- 如何判斷一個圖是連通的？DFS遍歷一次輸出的是圖中什麼內容？
- 無向圖中刪除某個頂點的複雜度是多少（用鄰接鏈表存）？
- 是什麼造成拓撲排序不唯一？
- 關鍵路徑的五個函數都應該怎麼求？
一、查找
查找其實對我們來說並不陌生，我們在線性表中學過查找某個元素的複雜度是多少（順序表示是多少，鏈式表示是多少？），我們之前也學過二叉排序樹，二叉排序樹的構建其實就是爲了更方便的動態查找（二叉排序樹的查找複雜度是多少？）。這裏我們將系統的學習所有的查找方式。
在數據集合中尋找滿足某種條件的數據元素的過程稱爲查找。查找的結果一般分爲兩種，查找成功和查找失敗（還記得我們在二叉排序樹裏面，計算了兩種平均查找長度 ASL成功和ASL失敗,還記的ASL失敗是怎麼計算的麼？）。
1.1 順序查找
這個其實就是線性表的查找方式，
int Search_Seq(int a[],int n, int key){
for(int i =0;i<n;i++){ //下標從0開始
if(a[i] == key)
return i;
}
return -1;
}
int Search_Seq(int a[],int n, int key){
//a數組下標從1開始，這時候我們可以把a[0]利用起來
a[0] = key;
for(int i = n;a[i]!=key;i--){ //下標從0開始
return i;
}
這裏提供兩種查找代碼，第一種是我們一般採用的方式，第二種是書上提供的更騷的套路。第二種理解下這麼妖嬈的操作是怎麼實現的。二者在複雜度上面沒有變化，但是代碼執行次數上面，第二種更快一點（就像 3*n 和 2*n 的複雜度都是n一樣）。下面的ASL都是按照第二種查找方式計算的
ASL_成功 = （n+1）/2;
（假設每個元素查找概率相同，第一個元素查找1次 第n個元素查找n次，總共查找 ((1+n)*n/)2,平均的話再/n就好了）
ASL_失敗 = n+1
（因爲查找失敗時候，我們需要查找到第0個元素，所以總共對比的元素有n+1個，如果按照第一種方式，查找失敗是多少？，考試時候，正確答案是第二種的查找，第一種就不要記了，這裏加上第一種只是爲了更深刻的理解查找失敗長度計算過程）
1.2 有序表的順序查找
我們待查找的序列是有序的，假設是遞增有序，這就相當於，二叉排序樹裏面只有左結點了。這時候查找成功和失敗就是二叉排序查找成功和失敗的方式：
ASL_成功 = （n+1）/2;
ASL_失敗 = (1+２+3+...+n+n)/n = n/2 + n/(n+1)
有序查找可以是順序表示，也可以是鏈式表示
1.3 二分查找（也是折半查找）
它和順序查找一樣，也要求查找表示有序的，但是它只適用於順序表，因爲他需要找到查找表裏面，中間的元素，如果是鏈式表的話，這樣找到中間元素都是O(n),而順序表示是O(1)。所以只適用於順序表。
其核心思想和高中學的最小二乘法逼近函數答案差不多，待查找的查找表a的區間是[l，r]，最中間的是mid = (l+r)/2 我們看下a[mid]和要查找的元素大小比較，如果小的話，說明應該落在[mid+1,r]裏面，如果大的話因該落在[l,mid-1]裏面，如果相等的話直接輸出
void Binary_Find(int t,int n)
{
int l = 1;
int r = n;
int mid;
while(r>=l)
{
mid = (l+r)/2;
if(a[mid]<t)
{
l = mid+1;
}
else if(a[mid]>t)
{
r = mid-1;
}
}
a[r+1] = t;
}
二分查找的圖表示其實就是一顆平衡二叉樹
這裏面的計算用到了高數裏面無窮級數那一章裏面的內容，剛好可以把那一章複習一下，並且終於明白那一章不僅難，還有點用。。。
所以折半查找的複雜度是
1.4 分塊查找
分塊查找結合了順序查找和折半查找的優點，需要另外開闢一個索引表，把n個元素分爲k塊，索引表長度爲k，索引表中的元素，代表對應塊中最大元素。在索引部分採用折半查找，內部採用順序查找。
所以總共的平局查找長度應該分爲兩部分,設索引查找和塊內查找的平均查找長度爲
設將長度爲n的超找表均勻的分爲b塊，每塊有s個記錄，在等概率的情況下，若在塊內和索引表中均採用順序查找，則平均查找長度爲：
此時，若
如果對索引採用折半查找時候，平均長度爲：
二、散列表（Hash表）（大題必考）
如果我們想查詢一個表裏有沒有元素k，如果這個表是無序的，那麼複雜度應該是O(n),就算是有序的，順序查找是O(n)，折半查找是
Hash的意義在於把一個大的集合A，映射到小的集合B，這樣查找起來會更省時。哈希表是根據關鍵字直接進行訪問的數據結構。我們通過散列函數，把關鍵字映射到對應的函數中。散列函數可能會把兩個或兩個以上的不同關鍵字映射到同一地址，稱這樣的情況爲“衝突”。
1.1 散列函數的構造方法
除留餘數法：假定散列表的表長爲m,取一個不大於m但最接近或等於m的質數p,利用一下公式吧關鍵字轉換成散列地址。散列函數爲
1.2 處理衝突的方法
1. 開放定址法
這個需要把數據放在數組裏面
這個d的確定有好幾種方法，比如d每次增加1，或者每次變爲平方，或者換個哈希函數，或者隨機選一個。
a.線性探測法：發現衝突時候，一個一個往後挪，直到找到空位子坐下~但是這樣會造成大量元素在相鄰的散列地址上"聚集”（堆積），大大降低查找效率。
b.平方探測法：
c.再散列法：發現衝突以後，通過另一個函數，重新選取位置，直到不發生衝突爲止。
2.拉鍊法
這個就有點像鏈表了，所以你會發現數據結構過來過去，存儲方式就這倆種，很多地方都是通的。
1.3 ASL成功和失敗
1.哈希表中一共有四個主要參數，p,n,m,a。其中p是待取模的質數，m是整個表的長度，n是元素的個數，a是裝填因子
2.哈希表採用開放地址法時候，查找失敗的分母取決於p而不是m。
2.哈希的查找性能，即平均查找長度依賴於哈希表的裝填因子a，不直接依賴於 n 或 m。
3.拉鍊法中，查找失敗有兩種不同的計算方式，這裏我們採用教材規定的上面那種。
三、字符串匹配
字符串匹配的含義就是檢測要查找的字符串T在不在被查找的字符串S裏面。這就和word裏面的ctrl+f的功能一樣（這個功能可能是用優化以後的KMP或者SUNDAY、BM算法寫的,SUMDAY是一個非常好理解的，且效率比KMP要高的算法，如果你喜歡這一塊的話，可以瞭解下這個算法）。
這裏，容易想到的一個簡單的算法就是一個一個比算法，在S中挨個查找，如果某個位置往後和T能夠完全匹配，就返回這個位置，如果不行，就看下這個位置的下一位，直到S字符串全部檢查完畢。
3.1 簡單的模式匹配算法
int Index(char s[],int sum_s,char t[],int sum_t){
int i = 1,j = 1;
while(i <=sum_s&&j<=sum_t){
if(s[i] == t[j] ){
i++;
j++;
}
else{
i = i-j+2;
j =1;
}
}
if(j >= sum_t){
return i - sum_t;
}
else return 0;
}
3.2 改進的模式匹配算法-KMP算法
KMP算法算是本科裏面學到過的最難理解的算法之一了，當初也是花了很長時間去學習這個東西，那個時候雖然搞懂了，但是現在又給忘了，而KMP剛好考研時候只考NEXT數組的計算方式（完全弄懂KMP對於只應付我們學校初試來說，沒有太大必要）。NEXT數組裏面：
1.next[1] = 0,next[2] = 1
2.後面每一個來說，只需要看看其前面的數組裏面，前綴後綴重複的最大長度是多少，然後加1就好了，比如計算NEXT[6]時候，前面最大前綴是ABA，後綴是ABA 所以NEXT[6]= 3+ 1 = 4
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編號 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
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S |
A |
B |
A |
B |
A |
A |
A |
B |
A |
B |
A |
A |
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Next |
0 |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |