4. Median of Two Sorted Arrays
题目简析：在两个有序数组里面找出总的中位数，第一个思路当然是对整体排序成为一个数组，在根据数字数目直接找到中位数，这样显然是毫无难度的，因此题目给出一个条件——O(log (m+n))的时间复杂度。看到O(log)，第一个联想起来的自然是二分法，因此如何结合二分法找出中位数，这就是我基本的解题灵感所在。
首先根据题目字母的意思，暂时我们拥有的条件就是“数组有序”这个条件，结合中位数的定义，我们可以数字有序这个特点，通过从两端逼近中央，不断缩小中位数所在的区间，当这个区间足够小的时候，自然就找到中位数了。那么问题就是——如何逼近？多大的区间才是足够小？
首先解决第一个问题——如何逼近？
假设有数组A、B，大小分别为m、n（这里暂且认为m≥n），假如A、B都是有序的话，那么会有以下的特点：
1. 这里假如将AB整体排好序后，有一个新的有序数组C，那么C显然大小为m+n，中位数为mid, 这里我们令k=(m+n)/2，根据中位数的定义，假如m+n是 奇数时，由于C是有序，那么中位数mid两侧分别有k个数字。
2. 由于m≥n且均为非负整数，所以m/2和n/2必定小于k
3. 分别从A、B两侧删除n/2个数字(比如删除A侧最左端n/2个数和B最右端n/2个数；或者删除A最右端n/2个数和B最左端n/2个数)，中位数不会被删除，因为k>n/2,两端可删除的数字数目一定大于待删除数目
4. 两侧对称删除同等量的数字后，特点1~3不变
根据1~4这4点，也就是说不断重复3 的话，我们可以实现不断从AB数组中删除元素，从而缩短中位数所在区间。
第二个问题——多大的区间才足够小？
这里我们仍要看回上面的1~4点，从第3点，我们可以看到n是个很关键的数字，因为它限制了删除数字的上限，所以当我们将数组B逼近至无法再削减时，就达到我们需要的区间了。显然，达到这个区间需要的时间复杂度，仅仅是O(logn)，没有超出题目的要求。
由于奇偶数的不同，中位数的计算方法不同，由于每次删除的数字总量都是偶数，因此奇偶性不会变化，因此数组B需要保留的数字，是个要仔细探讨的问题。结论是什么呢？—— 结论是B要保留的数字是2个，为什么？
(1)假如m+n是奇数时，计算中位数我们只需要查找一个数字，此时中位数mid也许在A中也许在B中，所以B必须至少有1个数。
(2)假如m+n是偶数时，计算中位数我们需要查找两个数字mid1和mid2，(mid1+mid2)/2计算中位数，mid1和mid2也许在A中也许在B中，甚至两个数都在同一个数组里，所以B必须保留2个数字，才能保证中位数不会被删除掉这里还有一个小细节，假如给定的数组分别是A: [1, 2, 3] 和 B: [1]时，怎么办呢？为了解决这个问题，我们可以在分别在A、B的两侧添加一个数字，简化这个问题。
比如 : 数组A [1, 2, 3] ——>[min, 1, 2, 3]
数组B [1] ——> [1,max]
这里的min和max分别是所有数字中的最小值和最大值，使其分别能位于所有数字的最小端和最大端，这样就不会影响中位数的计算（因为最两端的数字必定不参与计算，那么添加数字前的计算情况和添加数字后的计算情况都是一样的）。
当然，这里还有几种特殊情况，通过if语句直接筛掉，留下最主要的情况进行计算，这些特殊情况分别包括：
(1) 空数组 A:[ a …… b] B:[] 或者 A [] B []，这里直接计算A的中位数或者返回0即可
(2) 单数字数组 A: [mid1] B: [mid2] ，直接返回(mid1+mid2)/2
(3) m<n，由于以上解析均建立在m≥n这个条件上，因此这里通过调用函数自身，把数组A、B互换即可
比如：
if(m<n)
return findMedianSortedArrays(nums2,nums1);现在，我们已经解决了如何逼近区间和区间大小的问题，剩下的就是计算中位数的问题。因为在以上操作后，我们把B的数目控制在了2 这个大小，根据m≥n，A的数目也是≥2的，而且A的数目也许还非常大，不过这里要提醒的是，我们每次缩减区间所删除的数字数目都是偶数，而且是从两端分别删除，所以这里有个很重要的特点——中位数两端的数字数目也是相同的，并且不影响计算中位数需要的数字数目(1位或2位)。
这意味着，就算A剩余数字数目很大，两侧的大部分数字是可以不考虑的，因为他们既不参与计算，两端数字数目也是相同，所以我们只需要取数组A最中间的几个数字和数字B的2个数字进行比较，即可完成中位数的查找和计算，这里需要列举一下几种计算情况
1. m=n=2时
排列情况有
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情况 |
|
|
|
中位数 |
|
1 |
a1 |
(a2 b1) or (b1 a2) |
b2 |
(a2 + b1)/2 |
|
2 |
b1 |
(b2 a1) or (a1 b2) |
a2 |
(a1 + b2)/2 |
|
3 |
a1 |
b1 b2 |
a2 |
(b1 + b2)/2 |
|
4 |
b1 |
a1 a2 |
b2 |
(a1 + a2)/2 |
2.m为偶数且m≥4时
排列情况有
|
序号 |
|
|
|
中位数 |
|
1 |
a1 a2 |
a3 a4 |
b1 b2 |
(a3+a4)/2 |
|
2 |
b1 b2 |
a1 a2 |
a3 a4 |
(a1+a2)/2 |
|
3 |
a1 a2 |
b1 b2 |
a3 a4 |
(b1+b2)/2 |
|
4 |
(a1 b1)or(b1 a1) |
a2 a3 |
(a4 b2)or(b2 a4) |
(a1+a3)/2 |
|
5 |
(a1 b1)or(b1 a1) |
(a2 b2)or(a2 b2) |
a3 a4 |
(a2+b2)/2 |
|
6 |
a1 a2 |
(b1 a3)or(a3 b1) |
(a4 b2)or(b2 a4) |
(a3+b1)/2 |
3.m为奇数且m≥3时
排列情况有
|
情况 |
|
|
|
中位数 |
|
1 |
b1 b2 |
a1 |
a2 a3 |
a1 |
|
2 |
a1 a2 |
a3 |
b1 b2 |
a3 |
|
3 |
(b1 a1)or(a1 b1) |
a2 |
(a3 b2)or(b2 a3) |
a2 |
|
4 |
a1 a2 |
b1 |
(b2 a3)or(a3 b2) |
b1 |
|
5 |
(a1 b1)or(b1 a1) |
b2 |
a2 a3 |
b2 |
到这里整体的算法思路都已经描述完毕，剩下的是全部代码，仅供参考
class Solution {
public:
double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
int m=nums1.size();
int n=nums2.size();
int mid_flag=(m+n)%2;
if(m==n){
if(m==1)
return (nums1[0]+nums2[0])/2.0;
if(m==0)
return 0/1.0;
else if(nums1[0]<nums2[0])
return findMedianSortedArrays(nums2,nums1);
}
if(m<n)
return findMedianSortedArrays(nums2,nums1);
else if(m>1&&n==1){
nums2.push_back(max(nums2[0],nums1[m-1]));
const int insert_ele=min(nums1[0],nums2[0]);
nums1.insert(nums1.begin(),insert_ele);
m++;
n++;
}
if(n==0){
if(m%2==0)
return (nums1[m/2-1]+nums1[m/2])/2.0;
else
return nums1[m/2]/1.0;
}
int start1=0;
int start2=0;
int end1=m-1;
int end2=n-1;
int p1,p2;
while(start2!=end2-1){
p1=(end1-start1)/2;
p2=(end2-start2)/2;
if(nums1[start1+p1]>nums2[start2+p2]){
start2+=p2;
end1-=p2;
}
else if(nums1[start1+p1]<nums2[start2+p2]){
start1+=p2;
end2-=p2;
}
else if(nums1[start1+p1]==nums2[start2+p2]){
if(m==n && mid_flag==1)
return (nums1[start1+p1]+nums2[start2+p2])/2.0;
if((end2-start2)>p2*2){
start2+=p2;
end2-=p2;
}
else{
start1++;
end2--;
}
}
}
int mid=(end1-start1)/2+start1;
if(mid_flag==1){
if(nums2[start2] >= nums1[mid+1])
return nums1[mid+1]/1.0;
else if(nums2[end2] <= nums1[mid-1])
return nums1[mid-1]/1.0;
else if(nums2[start2] <= nums1[mid] && nums2[end2] >= nums1[mid])
return nums1[mid]/1.0;
else if(nums2[start2]>=nums1[mid]&&nums2[start2]<=nums1[mid+1])
return nums2[start2];
else if(nums2[end2]>=nums1[mid-1]&&nums2[end2]<=nums1[mid])
return nums2[end2];
}
else if(mid_flag==0){
if((end1-start1)==1){
if(nums1[mid]>=nums2[start2] && nums1[mid+1]>=nums2[end2])
return (nums1[mid]+nums2[end2])/2.0;
else if(nums1[mid]<=nums2[start2] && nums1[mid+1]<=nums2[end2])
return (nums1[mid+1]+nums2[start2])/2.0;
else if(nums1[mid]>=nums2[start2] && nums1[mid+1]<=nums2[end2])
return (nums1[mid]+nums1[mid+1])/2.0;
else
return (nums2[start2]+nums2[end2])/2.0;
}
if(nums1[mid-1]>=nums2[end2])
return (nums1[mid-1]+nums1[mid])/2.0;
else if(nums1[mid+2]<=nums2[start2])
return (nums1[mid+1]+nums1[mid+2])/2.0;
else if(nums1[mid]>=nums2[start2] && nums1[mid+1]<=nums2[end2])
return (nums1[mid]+nums1[mid+1])/2.0;
else if(nums1[mid]<=nums2[start2] && nums1[mid+1]>=nums2[end2])
return (nums2[start2]+nums2[end2])/2.0;
else if(nums1[mid]>=nums2[start2] && nums1[mid+1]>=nums2[end2])
return (nums1[mid]+nums2[end2])/2.0;
else if(nums1[mid]<=nums2[start2] && nums1[mid+1]<=nums2[end2])
return (nums1[mid+1]+nums2[start2])/2.0;
}
return 0;
}
};Runtime: 0 ms
题目链接：https://leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/description/