欧几里得算法详解

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前言

  今天再看算法图解，在看到快速排序时，感觉这种排序方法非常巧妙，得知这种算法来源于欧几里得算法（又名辗转相除法），于是又复习一下欧几里得算法。如果直接想看详细证明的话可以忽略前面的话直接跳转到我的证明（详解）

欧几里得算法

  欧几里德算法又称辗转相除法，是指用于计算两个正整数a，b的最大公约数。
  计算公式:

gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明

网上的一般证明

  网上一般证明:

a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数，且r<$<$ b），则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，记作d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。
而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d=m，由等式右边可知m为整数，因此d|r.
因此d也是b,a mod b的公约数
因此(a,b)和(a,b,r)的公约数相同，其最大公约数也必然相等，得证。

  但是，但是看到这里的时候觉得很别扭，怎么就出来了公约数相等了呢？上述只是证明了对于任意一个属于(a,b)公约数的ｄ同时也是(a,a mod b) b)的公约数,并不能说明两个的公约数集合相等。这么说吧，我们要证明集合A和集合B相等，必须证明对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有一个与它相等的数，同时对于集合B中的任意一个数，在集合A中都有一个数与它相等。
而上述的证明过程只证明了对于集合A((a,b)公约数集合)中的任意一个数，在集合B（(a,a mod b)公约数集合)中都有一个数与它相等。并没有下一步，也就是说它逻辑上是不能推断出(a,b)和(a,a mod b)公约数相同的，抱着这个疑惑，继续找资料，有一个大佬的解答很符合我的胃口。

一位大佬的证明

  大佬的证明：

a可以表示成a=kb+r(a,b,k,r皆为正整数；且a>b)
则r=a mod b
假设d是a,b的一个公约数，为了方便，我们记d=(a,b)
则d|a,d|b,即a和b都可以被d整除。
而r=a-kb
两边同时除以d得到
r/d=a/d-kb/d
因为d|a,d|b,显然可以得到d|r
所以d是r的一个约数，因此d是(a,b,r)的公约数，即d=(a,b,r)
设A是(a,b)的公约数集，B是(b,r)的公约数集，R是(a,r)的公约数集
那么可以得到A⊆$\subseteq$ B，A⊆$\subseteq$ R

假设d’是(b,r)的公约数，则d’|b,d’|r;a=kb+r,等式两边都除以d’，可得
a/d’=(kb+r)/d’=kb/d’+r/d’因为d’|b,d’|r;显然d’|a
所以如果d’=(b,r),那么在a=kb+r的情况下，d’也是a的约数，d’=(a,b,r)
因此(b,r)的约数集是(a,b)的约数集的一部分，也是(a,r)约数集的一部分所以Bsubseteq$subseteq$ ,B⊆$\subseteq$ R综上，A=B
由此得证，(a,b)的公约数与(b,r)的公约数相同，当然它们的最大公约数也必定相同。即
   gcd(a,b)=gcd(b,r)

我的证明（详解）

  我们在高中时学过假如要证明集合A=B那么，我们首先要证明A⊆$\subseteq$ B,接着证明B⊆$\subseteq$ A，然后我们才能说集合A=B
换到欧几里得算法：

gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

  欧几里得算法的意思是a,b两个整数的最大公约数等于b与a整除b的余数的最大公约数。
我们证明它是正确的一个思路是:证明它们的公约数集合是相等的，只要公约数集合相等，那它们的最大公约数也必然相等
  为了方便理解，我们令(a,b)的公约数集合为A,(b,r)的公约数集为B。
  也就是说第一步我们证明集合A⊆$\subseteq$ B,第二部证明集合B⊆$\subseteq$ A，第三步，得证。
  第一步，证明集合A⊆$\subseteq$ B,再明白点就是：对于任意属于集合A的元素，在Ｂ中都有一个元素与它相等。

a可以表示为a=kb+r（k是一个大于０的整数，ｒ是a整除b的余数)
也可以表示为r=a-kb    (1)
在集合A中任取一个数d。//集合A是(a,b)公约数的集合，集合Ｂ是(b,r)公约数的集合，任取一个(a,b)的公约数

那么(1)式全部除以d就变成
r/d=a/d-kb/d
因为d是(a,b)的公约数，所以a/d,b/d,kb/d是一个整数，也就是说r/d也是一个整数，因为一个大整数减去一个小整数，还是一个整数。
由此我们可以得知r也整除d
由此我们得知d是(b,r)的公约数，也就是说d属于B.
由此我们得知对于任意一个属于A的元素d,也必定属于B,也就是说A⊆$\subseteq$ B.

第二步，证明集合B⊆$\subseteq$ A，也就是说：对于任意属于集合B的元素，在A中都有一个元素与它相等。

a可以表示为a=kb+r（k是一个大于０的整数，ｒ是a整除b的余数)   (2)
在集合B中任取一个数f。//集合A是(a,b)公约数的集合，集合Ｂ是(b,r)公约数的集合，任取一个(b,r)的公约数

那么(2)式全部除以f就变成
a/f=kb/f+r/f
因为f是(b,r)的公约数，所以kb/f,r/f是一个整数，也就是说a/f也是一个整数，因为一个整数加上一个整数，还是一个整数。
由此我们可以得知a也整除f
由此我们得知f是(a,b)的公约数，也就是说f属于A.
由此我们得知对于任意一个属于B的元素f,也必定属于A,也就是说B⊆$\subseteq$ A.

第三步，结论

因为A⊆$\subseteq$ B，并且合B⊆$\subseteq$ A，所以我们说集合A=B.
因为(a,b)的公约数集合A和(b,r)的公约数集合B相等，所以我们说他们的最大公约数也必然相等，也就是说：
   gcd(a,b)=gcd(b,r)

参考资料

  欧几里德算法的证明