分形程序高級技巧入門教程--第一到四章

                          分形程序高級技巧入門教程--第一到四章
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摘要:
    本系列文章是寫給分形編程愛好者的一個入門教程;文章章節包括(規劃中的,可能增刪):
    一.複數迭代的mandelbrot集合; 二.顏色平滑的簡單週期算法; 三.迭代逃逸次數插值的顏色平滑;
    四.使用sin函數做顏色平滑; 五.一個更有效的迭代逃逸次數插值公式; 六.使用誤差擴散來杜絕色差感;
    七.集合內部的顏色; 八.julia集合; 九.迭代生成的複數值的插值;
    十.迭代生成的複數值的高階插值; 十一.圖形的放大和旋轉; 十二.複數初始值的變換;
    十三.固定顏色表; 十四.設計圖案的映射; 十五.紋理映射; 十六.並行計算;
    十七.更多的迭代方程和顏色方案; 十八.高次mandelbrot集合; 十九.其他分形的介紹、分形動畫

正文:

   (1-4章完整項目源代碼: http://cid-10fa89dec380323f.office.live.com/self.aspx/.Public/hssFractal1%5E_4.zip )
   (我的其他分形相關文章: http://blog.csdn.net/housisong/category/382024.aspx )

一.複數迭代的mandelbrot集合

對於複數函數 f(z)=z^2+z0; 給定任意的z0，迭代可以得到序列：z0^2 + z0,
z0^4 + 2*z0^3 + z0^2 + z0,...... 我們把經過任意次迭代以後而不發散的z0定義爲
Mandelbrot集合; 把複數方程改寫爲對應的實數方程:
    x(i+1)=x(i)*x(i)-y(i)*y(i)+x(0);  //實部
    y(i+1)=x(i)*y(i)*2+y(0);          //虛部

Mandelbrot迭代函數:我們認爲迭代一定次數max_iter以後,沒有逃逸的點就屬於集合,返回max_iter; 如果發生逃逸,返回當前迭代次數,代碼如下:  (當|Z(i)|^2>=4時,點必然逃逸)

inline long mandelbrot1(const double x0,const double y0,const long max_iter){ double x=x0; double y=y0; long i=0; for (;i<max_iter;++i){ if (x*x+y*y>=4) break; double tmp=x*x-y*y+x0; y=x*y*2+y0; x=tmp; } return i; }

 

迭代逃逸次數映射成顏色值:我們根據不同的逃逸次數,簡單生成一個對應的RGB顏色值,代碼如下:

//color=i%256 // / / / / / // / / / / / // / / / / / inline Color32 coloring1(const long iter,const long max_iter){ if (iter==max_iter){ return Color32(255,0,0); }else{ return Color32((iter*20)%256,(iter*15+85)%256,(iter*30+171)%256); } }  

我們把複平面上以點(x0,y0)爲中心橫軸2*r寬的複數區域均勻採樣with(寬)*height(高)個點, 獲取其Mandelbrot迭代逃逸次數,並映射成相應的顏色填充到一個with(寬)*height(高)的圖片中,代碼如下:
struct TViewRect{ double x0,y0,r; }; void draw_mandelbrot1(const TPixels32Ref& dst,const TViewRect& rect,const long max_iter){ for (long y=0;y<dst.height;++y){ for (long x=0;x<dst.width;++x) { double x0=(2*rect.r)*x/dst.width+rect.x0-rect.r; double yr=rect.r*dst.height/dst.width; //y軸半徑 double y0=(2*yr)*y/dst.height+rect.y0-yr; long iter=mandelbrot1(x0,y0,max_iter); dst.pixels(x,y)=coloring1(iter,max_iter); } } }

調用該函數生成一幅圖片,代碼如下: (尺寸640x480,中心點(-0.5,0),r=2;最大迭代次數1000)

const long max_iter=1000; TViewRect rect; rect.x0=-0.5; rect.y0=0; rect.r=2; TPixels32 dstPic; dstPic.resizeFast(640,480); draw_mandelbrot1(dstPic.getRef(),rect,max_iter); { //save pic TFileOutputStream bmpOutStream(dstFileName); TBmpFile::save(dstPic.getRef(),&bmpOutStream);//保存結果圖片 }  

生成的圖片如下:


二.顏色平滑的簡單週期算法
  直接的%求餘容易造成較強的顏色階梯,我們用一個平滑一點的函數來處理迭代值到顏色的轉化: color=(i%510)-255;   當i連續變化的時候,得到的color值也是連續變化的: (其他代碼相同)
//color=(i%510)-255 // // // / // / / / / / // / // // inline long modColor2(long iter){ return abs((iter+255)%510-255); } inline Color32 coloring2(const long iter,const long max_iter){ if (iter==max_iter){ return Color32(255,0,0); }else{ return Color32(modColor2(iter*20),modColor2(iter*15+85),modColor2(iter*30+171)); } }
生成的圖片如下:


對於相鄰的逃逸次數,現在的顏色還不夠平滑,可以把那些*乘法系數取消掉,這樣就能保證得到 的顏色的平滑(但顏色的對比就比較小了):
inline Color32 coloring3_s(const long iter,const long max_iter){ if (iter==max_iter){ return Color32(255,0,0); }else{ return Color32(modColor2(iter),modColor2(iter+85),modColor2(iter+171)); } }
生成的圖片如下:


三.迭代逃逸次數插值的顏色平滑
   相鄰點的逃逸次數差爲1,對應到顏色最大亮度的1/255時才能看起來平滑(如:coloring1_s);
如果想增大他們之間的顏色對比,又有可能產生顏色梯度(如:coloring1); 我們如何同時滿足
這兩個要求呢?答案是對逃逸次數進行插值! 
  逃逸次數 插值公式: i +1-log(log(|Z|))/log(P); (P爲複數方程的指數,這裏爲2)
  這是一個近似插值公式,有一定的誤差;如果多迭代幾次的話,可以減小該公式的誤差;
  (公式來源參見: http://linas.org/art-gallery/escape/ray.html ) 代碼如下: (增加了迭代次數)

static const double _divLog2=1.0/log(2.0); inline double log2(double x){ return log(x)*_divLog2; } inline double mandelbrot3(const double x0,const double y0,const long max_iter){ double x=x0; double y=y0; long i=0; for (;i<max_iter;++i){ if (x*x+y*y>=256) break; double tmp=x*x-y*y+x0; y=x*y*2+y0; x=tmp; } if (i!=max_iter){ return i +1-log2(log2(x*x+y*y)); }else return i; } //color=(i%510)-255 inline long modColor3(double iter){ return (long)(abs(fmod(iter+255,510)-255)); } inline Color32 coloring3(const double iter,const long max_iter){ if (iter==max_iter){ return Color32(255,0,0); }else{ return Color32(modColor3(iter*20),modColor3(iter*15+85),modColor3(iter*30+171)); } } void draw_mandelbrot3(const TPixels32Ref& dst,const TViewRect& rect,const long max_iter){ for (long y=0;y<dst.height;++y){ for (long x=0;x<dst.width;++x) { double x0=(2*rect.r)*x/dst.width+rect.x0-rect.r; double yr=rect.r*dst.height/dst.width; double y0=(2*yr)*y/dst.height+rect.y0-yr; double iter=mandelbrot3(x0,y0,max_iter); dst.pixels(x,y)=coloring3(iter,max_iter); } } }  

生成的圖片如下:


四.使用sin函數做顏色平滑
  sin函數也是個不錯的顏色平滑調節函數,函數值連續,處處可導... 產生的顏色更柔和一些,代碼如下:

//color=sin(i) inline long sinColor(double iter){ return (long)( (sin(iter*2*3.1415926/510-3.1415926*0.5)+1)*0.5*255 ); } inline Color32 coloring4(const double iter,const long max_iter){ if (iter==max_iter){ return Color32(255,0,0); }else{ return Color32(sinColor(iter*20),sinColor(iter*15+85),sinColor(iter*30+171)); } } void draw_mandelbrot4(const TPixels32Ref& dst,const TViewRect& rect,const long max_iter){ for (long y=0;y<dst.height;++y){ for (long x=0;x<dst.width;++x) { double x0=(2*rect.r)*x/dst.width+rect.x0-rect.r; double yr=rect.r*dst.height/dst.width; double y0=(2*yr)*y/dst.height+rect.y0-yr; double iter=mandelbrot3(x0,y0,max_iter); dst.pixels(x,y)=coloring4(iter,max_iter); } } }  
生成的圖片如下: