我的分形畫廊
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2008.02.06
tag:迭代,分形,混沌,複雜性,吸引子
摘要：
上大學的時候“不務正業”，整天整天的跑(泡)圖書館；"分形"這門有趣的數學幾何的
分支領域也是在這段時間裏接觸的；我利用分形的原理用程序繪製了很多好看的圖片；
以前上學時做的一些漂亮的分形圖片:
http://blog.csdn.net/housisong/Gallery/280093.aspx
正文：
A:進入分形
中國的海岸線有多長?
這看似一個簡單的問題，查資料或者搜索一下就能知道:“我國大陸海岸線長度爲1.8萬公里，居世
界第四位”. 然而,實際上這個海岸線長度數據是沒有任何意義的，我們來看看實際的海岸線
(圖片從Google Earth截圖 每幅圖都在上副圖的基礎上放大其中的一個小區域)
注意到問題沒有，海岸線的長度和測量時使用的“尺子”將成比例關係，你用的測量精度越高的尺子，
海岸線將越長!
這裏有一幅很有趣的更加形象的圖片:
http://www.matrixkey.com.cn/images/fenxing1.gif
海岸線在多個尺度下用一維數據是不可測量的! 很明顯，海岸線也肯定不是二維的；
它介於一維和二維之間的分數維! 我們需要一種新的幾何來定量描述這類物體；
B:混沌遊戲
我們來做一個混沌遊戲，並親手繪製出我們的第一個分形圖；
1.在紙上繪製3個點(距離大致相等)，然後從3點中選定一個我們的當前點；
2.隨機選擇3個頂點中的一個，繪製它與當前點之間的中間點，並把這個點作爲新的當前點；
3.不斷的重複2，我們就能得到一幅有趣的圖片
用計算機可以更快地完成這個過程，這樣就得到了下面這幅圖:
C:牛頓迭代
在數值計算中，經常使用牛頓迭代法來求解方程的根；在現在CPU中，除法和開方指令一般都是使
用該方法來實現的(我以前的blog文章中也有其原理說明和圖示)；
對方程f(x)=0，設函數 g(x)= x - f(x) / f'(x) , 其中 f'(x) 爲函數f(x) 的導函數。
則函數 g(x) 就是求解方程根的牛頓迭代公式。(迭代的意思是: 把函數返回值作爲參數繼續帶入函數)
對於選定的起始點x0，g(x)迭代大多都會收斂於f(x)=0的某個根，但也可能存在許多點，使 g(z)
迭代根本就不收斂，甚至可能出現混沌的狀態。 牛頓迭代法也適用於複數函數方程求根；
這裏有一幅求解複數方程Z^3-1=0時形成的圖片；將複平面的任意一點作爲迭代初始值(x,y座標正
好作爲複數的實部和需部)，不斷的迭代，大多數點都會跌入某個解，記下這時迭代經過的次數繪製成
不同的顏色，就可以得到如下的圖(包含放大的效果):
這些“珍珠鏈”具有無窮的細節，可以在任何尺度任意放大。
D:Mandelbrot集合與Julia集合
對於複數函數 f(z)=z^2+z0; 給定任意的z0，迭代可以得到序列：z0^2 + z0,
z0^4 + 2*z0^3 + z0^2 + z0,...... 我們把經過任意次迭代以後而不發散的z0定義爲
Mandelbrot集合,藉助於計算機，我們可以得到以下的圖像(屬於集合的點標記爲紅色)：
放大這個集合的邊緣將得到很多非常漂亮的圖片: 
這是一個非常簡單的函數，但可以想象在沒有計算機以前，研究這個方程的不逃逸集合將是非常困難的
事情，很多東西沒有它看起來那麼簡單； 可以發現在M集周圍也有很多“小的M集”，它們和大的M集很相似；
已經證明M集是一個連通集，也就是說這些小M集是串在一起的! 1980年當 B. B. Mandelbrot第一次畫出它
的圖形以來，M集就被認爲是數學上最爲複雜的集合之一，它又是如此的美麗，吸引了大批的科學家和愛好者。
M集又被稱爲“數學恐龍”，它已成爲混沌、分形最爲重要的標誌之一。
Julia集：複數函數 f(z)=z^2+zM, 其中zM爲常量，對平面上的一點z0進行迭代，經足夠多次迭代
後函數值不擴散，這類z0點組成的集合爲Julia集，對每一個特定的zM值都構成一個相應的Julia集；
可以證明:M集是使Julia集爲連通的參數(zM)的集合。
(Julia集 zM=(-0.74543,0.11301) )
E:我的分形畫廊
還有很多種分形生成方法和原理來繪製分形圖，請查找相關資料；
上學的時候，幾乎翻遍了圖書館裏分形、混沌、複雜學等方面的書籍，編寫程序來繪製，並儘量繪製的
好看些；後來撥號上網以後(8塊錢一個小時)才發現，原來有很多人和我一樣，目標就是繪製“好看
的分形”，不拘泥於方程，而更在意“好看”，哈哈； 上網後我成了井底之蛙:D
比如見這裏：http://www.fractalartcontests.com/2007/winners.php
我以前繪製的很多圖片: (還有很多圖片在多次的硬盤意外損壞中丟失)
（這幅圖片是使用精確的方程描述的，涉及到4個仿射變換函數，每個函數
都描述了局部和整體的一個關係式；用這些方程能夠繪製出這幅圖，同樣反
過來說，有了圖，也能求出其對應的仿射變換函數(用尺子就能測量出函數
的係數)；有人在研究圖像的機器自動分形壓縮就是從這裏來的，這種方案
可以得到非常高的壓縮率）
（這幅圖片也是用仿射變換函數得到的 ）
(叫"四點格式"，是一種迭代的擬合方法；我把它繪製成一種動畫時截的圖)
（這幅圖片也是用仿射變換函數得到的 ）
(牛頓迭代法解方程圖)
（牛頓迭代法解方程結合Julia迭代 ）
最近做了一個簡單的屏保(牛頓迭代法解方程圖像)
，一些截圖：
這裏有3幅超大的分形圖片(4000*3000)，就不貼在文章中了(可以向我索要無損的PNG格式)，鏈接如下：
https://p-blog.csdn.net/images/p_blog_csdn_net/housisong/280093/o_xinkongj.jpg
https://p-blog.csdn.net/images/p_blog_csdn_net/housisong/280093/o_kb3.JPG
https://p-blog.csdn.net/images/p_blog_csdn_net/housisong/280093/o_m_gs345tb.jpg
我的更多分形圖片:
http://blog.csdn.net/housisong/Gallery/280093.aspx
經常有人問我，爲什麼我做的圖片的顏色是連續變化的，其實很簡單，假設得
到的運算數據(比如迭代次數、逃逸距離等等)爲x，使用這樣的顏色函數:
Color(x)=abs(f(x)%511-255); 其中f(x)函數一般是個連續函數(處處可導),那
麼Color(x)函數也將是一個連續函數,也可以用實力函數(推薦)；很明顯顏色函數也可以使用其他很多滿足要求的
連續顏色映射函數；
關於編寫分形程序,可以關注我的文章<分形程序高級技巧入門教程>: http://blog.csdn.net/housisong/archive/2011/01/23/6159317.aspx
文章生成的一幅圖:
