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本文將一步一步構造Manacher算法，心急的一定看不懂！請先練習下面的習題。探索最長迴文串性質
題1：已知字符串以center爲中心對稱，求完整的字符串。abcd??? | center答
abcdcba | center
題2：接上題，abcdcba後面還有一些字符，以center2爲中心，最大對稱半徑[ref]半徑大於等於1。[/ref]爲7，求完整的字符串。
答根據center2的對稱性質，可以知道字符串爲
abcdcba???abcdcb??
又根據center2最大對稱半徑爲7，而不是8，所以c後面一定不是b（標識爲b）。center3的對稱半徑確定！而且，center關於center2的對稱點center3的索引號爲center2*2-center=8*2-3=13。對稱半徑爲center2+7-center3=8+7-13=2。
題3：稍微調整上題，若center2在a，對稱半徑爲8，求完整的字符串和center3的對稱半徑。
答：字符串爲
center3=center2*2-center=7*2-4=10。對稱半徑爲center2+8-center3=7+8-10=5。這樣對嗎？
看起來半徑不正確！應該同center一樣都是4。問題出在哪裏呢？明明用的是跟題2一樣的公式啊！因爲題2跟題3情況不同。題2 center左邊超出了center2的對稱範圍；而題3 center左邊沒超出center2的對稱範圍。center3的半徑確定。題4：同樣，center在x，半徑爲2，center2在a，半徑爲5。求完整的字符串和center3半徑。
答：根據center2的對稱性補全center2範圍內的字符。又因爲center2的對稱半徑爲5而不是6，索引11位的字符不是c。
- 當center1範圍左超center2範圍（簡稱左超），center3的半徑可由計算得出，爲確切值。
- 當center1範圍內含於center2範圍（簡稱內含），center3的半徑等於其關於center2的對稱點半徑，爲確切值。
- 當center1左邊界與center2左邊界重合（簡稱接邊），center2半徑大於等於其關於center2的對稱點半徑，值不確定。
基本代碼
下面給出基本代碼。[code lang="java"]public static int getPalindromeLength(String s){if (s.length() == 0)return 0;StringBuilder sb = new StringBuilder(s.length() * 2 + 1);sb.setLength(sb.capacity());for (int i = 0; i < s.length(); i++)sb.setCharAt(i * 2 + 1, s.charAt(i));s = sb.toString();int[] radii = new int[s.length()];for (int center = 0; center < s.length() - 1; center++) // O(n){boolean notSure = true;// 檢查center是否在某個對稱區域的右半邊for (int center2 = center - 1; center2 >= center / 2; center2--){if (center2 + radii[center2] > center) // center在以center2爲中心的對稱區域的右半邊{int c1 = center2 * 2 - center;assert c1 >= 0;if (c1 - radii[c1] < center2 - radii[center2])// 左超，半徑確定{radii[center] = center2 + radii[center2] - center;notSure = false;break;}else if (c1 - radii[c1] > center2 - radii[center2]) // 內含，半徑確定{radii[center] = radii[c1];notSure = false;break;}else// 接邊，半徑可能變化radii[center] = Math.max(radii[c1], radii[center]);}}if (notSure){// ccxbabxbabxcc// 0123456789012/* * 索引6的x關於索引4的a對稱，根據索引2的x得對稱半徑1。 但實際上索引6的x是整個字符串的對稱中心。 */int r = radii[center];while (center - r >= 0 && center + r < s.length() && s.charAt(center - r) == readChar(s, center + r))r++;radii[center] = r;}}int maxRadius = radii[0];for (int i = 0; i < radii.length; i++)maxRadius = Math.max(maxRadius, radii[i]);return (maxRadius - 1);}private static char readChar(String s, int index)//這個方法可用來查看計算複雜度{System.out.println("讀取字符" + index);return s.charAt(index);}[/code]
現在分析複雜度，令比較運算爲耗時間的操作。該代碼通過notSure變量，僅當i關於center2的對稱點接邊的時候纔讀取字符來比較。前面性質分析中說的是左側接邊，根據對稱性也是右側接邊。進入if (notSure)分支後繼續讀取更右邊的字符，然後記錄在radii裏。以後，從radii裏讀就可以了。建議親手運行代碼看看，會發現程序不會重讀前面讀過的字符，不會讀了012345，然後又讀2345。既然程序只讀取字符2n次，那麼比較進行了n次，所以時間複雜度是O(n)。網上很多代碼與上面的代碼不太一樣，有id、mx什麼的，尤其有一個變量記錄什麼最右邊的位置，不太好懂。讀者如果理解了上面的基本代碼，那麼可以再看下下面的變形代碼，變形代碼與網上的代碼比較像。變形代碼的複雜度同樣是O(n)。[code lang="java" title= language=]public static int getPalindromeLength2(String s){if (s.length() == 0)return 0;StringBuilder sb = new StringBuilder(s.length() * 2 + 1);sb.setLength(sb.capacity());for (int i = 0; i < s.length(); i++)sb.setCharAt(i * 2 + 1, s.charAt(i));s = sb.toString();int[] radii = new int[s.length()];int rCenter2 = 0;// 右邊界最大的cfor (int i = 0; i < s.length() - 1; i++) // O(n){// 檢查center是否在某個對稱區域的右半邊if (rCenter2 + radii[rCenter2] > i) // i在以center2爲中心的對稱區域的右半邊{int c1 = rCenter2 * 2 - i;assert c1 >= 0;if (c1 - radii[c1] < rCenter2 - radii[rCenter2])// 左超，半徑確定radii[i] = rCenter2 + radii[rCenter2] - i;else// 不左超。但如果接邊，半徑可能變化radii[i] = radii[c1];}// 如果右最大的c都不包括i，那麼其他c更不會包括了。if (i + radii[i] == rCenter2 + radii[rCenter2])// 接邊{int r = radii[i];while (i - r >= 0 && i + r < s.length() && s.charAt(i - r) == readChar(s, i + r))r++;radii[i] = r;// 接邊後超右邊比較，半徑可能更大！if (i + radii[i] > rCenter2 + radii[rCenter2])rCenter2 = i;}}int maxRadius = radii[0];for (int i = 0; i < radii.length; i++)maxRadius = Math.max(maxRadius, radii[i]);return (maxRadius - 1);}[/code]