費用流做二分圖最大權匹配

費用流二分圖最大權匹配的一個性質

使用費用流計算二分圖最大權匹配，考慮每次只增廣一條最短路徑（所以二分圖上邊權取負）。
我們會發現每次增廣，二分圖中匹配邊邊權總和會增加ΔL
其中ΔL=費用流增廣時求出的最短路長度
用ΔLi 表示第i 次增廣時匹配邊邊權和的變化量
我們會發現其滿足以下性質ΔL1≤ΔL2≤⋯≤ΔLn
爲什麼呢？

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我們考慮相鄰兩次增廣ΔLx 和ΔLx+1
因爲在第一次增廣後需要建立反向邊，所以第二次增廣可能會經過第一次增廣建立的反向邊。
我們分情況討論

1. 如果第二次增廣沒有經過第一次增廣所建立的反向邊，很顯然ΔLx≤ΔLx+1
2. 如果第二次增廣經過了第一次增廣時所建立的反相邊，則是以下情況
   
   其中綠色路徑表示第一次增廣時的路徑，藍色路徑表示第二次增廣的路徑
   X 表示兩次增廣共同經過的邊的長度（邊權)，a,b,c,d 表示增廣時各個路徑的長度

綜上所述，就是這樣啦。

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說到這裏，我們可以發現：使用費用流做二分圖最大權匹配，第i 次增廣後的總費用，表示在這個二分圖中選出i 條邊能得到的最大邊權和。
而這個邊權和的變化量是單調的

以上結論（增廣時最短路長度的變化量單調）是否可以推廣到一般圖，請自行思考