傅里葉分析與小波分析對於數字圖像處理（我的專業方向）很重要，所以準備系統學習，並將所學到的整理出來並陸續發表到博客與大家分享。由於目前還是對傅里葉分析與小波分析不熟悉，所以整理出來的材料難免有理解出錯的地方，希望大家發現後指出。
學習這方面的知識，所用參考資料主要有：
1、《高等數學》，同濟大學版（第六版）；
2、《信號與系統》，奧本海姆著（第二版）；
3、《小波與傅里葉分析基礎》[美]Albert Boggess等著；
4、互聯網；
以後要是用到其他參考書將會在後面指出。
首先學習到的是傅里葉級數，所以下面就先介紹傅里葉級數。
傅里葉級數
傅里葉級數是以法國數學家傅里葉（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768～1830）命名的級數，他是傅里葉級數的創始人，關於他的簡介可以去Google一下。傅里葉級數有時也稱傅立葉級數、傅氏級數，等。
在開始介紹傅里葉級數前，先介紹一下什麼是級數。通俗講，級數就是由無窮多個
"一般項
"相加構成的表達式；這裏的一般項可以是常數，也可以是函數；由於級數是由無窮多個一般項組成的，所以也稱之爲無窮級數。如果所有的一般項都是常數，則稱該級數爲常數項級數，其形式爲
，這裏的
就是一般項；常見的常數項級數如：
,
,等。如果一般項是函數的話，則稱之爲函數項級數，其形式爲
；函數項級數中常見的一類級數就是一般項是冪函數的函數項級數，其形式爲
(其中
注意n是從0開始的，所以第一項是一個常數
，這樣這個冪級數纔可以用來表示所有的冪級數。另外一類常見的函數項級數就是由三角函數組成的函數項級數，稱之爲三角級數；傅里葉級數就是一種三角級數。
設函數f(x)是以2
爲週期的函數，如果存在確定的係數
使得
，則稱三角級數
爲函數f(x)的傅里葉級數，並稱這些係數爲傅里葉係數。有幾個疑問：
1、爲什麼三角級數要寫成
形式呢？
不好嗎？初相哪裏去呢？
2、如果求出
呢？
3、常數項爲什麼要寫成
4、f(x)一定要以2
5、爲什麼要將一個函數f(x)展開成這樣的三角級數呢？什麼函數f(x)都可以展開成三角函數嗎？
接下來解決這些疑問。
1、正弦（餘弦）函數比其他三角函數更爲普遍、簡單；一般正弦函數表示爲A sin(
)，其中A代表幅度，
餘弦跟正弦只是初相不同而已）。這樣，應該將函數f(x)展開成
形式；但是表達式中存在初相
就不利於計算、分析等，而
令
，
，x =
(數學上才寫成x，電工學等則會寫成
)，則f(x)即可表示成
2、要求
，需要用到三角函數系的正交性。三角函數系在某區間內的正交就是指該三角函數系內的任何不同的兩個函數的乘積在這個區間的積分等於0.這裏的區間可以是任意區間，但是區間長度必須是這個三角函數系裏的每個函數的週期，不同區間長度要求不同三角函數系才能滿足正交性；由於現在討論的要展開傅里葉級數的函數f(x)是以2
爲週期的，又爲了積分方便，所以選擇[-
]作爲區間，對應的函數係爲：
1，sin x,cos x,sin 2x,cos 2x,…,sin nx,cos nx,… 。
現在來驗證這個三角函數系是否滿足正交性，及驗證其中的任何不同兩個函數的乘積的在區間[-
]的積分是否等於0。則
(n,k>=1)
(n,k>=1且n<>k)
(n,k>=1且n<>k)
(n>=1)
(n>=1)
得證。
另外，對於相同的兩個函數的情況：
(n>=1)
(n>=1)
現在，利用三角函數系的正交性來求
f(x)=
；
等式兩邊分別在區間[-
]求積分，有
=
，得
等式兩邊分別乘以
後在區間[-
]求積分，有
=
，得
等式兩邊分別乘以
後在區間[-
]求積分，有
=
，得
至此，第二個疑問解決，從中也可看到正交性對於求解傅里葉係數的重要性。
3、至於第三個疑問，其實有些是寫成
；寫成
，使得係數
，
，
都是以
(未完，待續！排版及格式轉換還出現問題，待解決。
）