傅里叶分析与小波分析对于数字图像处理（我的专业方向）很重要，所以准备系统学习，并将所学到的整理出来并陆续发表到博客与大家分享。由于目前还是对傅里叶分析与小波分析不熟悉，所以整理出来的材料难免有理解出错的地方，希望大家发现后指出。
学习这方面的知识，所用参考资料主要有：
1、《高等数学》，同济大学版（第六版）；
2、《信号与系统》，奥本海姆著（第二版）；
3、《小波与傅里叶分析基础》[美]Albert Boggess等著；
4、互联网；
以后要是用到其他参考书将会在后面指出。
首先学习到的是傅里叶级数，所以下面就先介绍傅里叶级数。
傅里叶级数
傅里叶级数是以法国数学家傅里叶（Jean Baptiste Joseph Fourier，1768～1830）命名的级数，他是傅里叶级数的创始人，关于他的简介可以去Google一下。傅里叶级数有时也称傅立叶级数、傅氏级数，等。
在开始介绍傅里叶级数前，先介绍一下什么是级数。通俗讲，级数就是由无穷多个
"一般项
"相加构成的表达式；这里的一般项可以是常数，也可以是函数；由于级数是由无穷多个一般项组成的，所以也称之为无穷级数。如果所有的一般项都是常数，则称该级数为常数项级数，其形式为
，这里的
就是一般项；常见的常数项级数如：
,
,等。如果一般项是函数的话，则称之为函数项级数，其形式为
；函数项级数中常见的一类级数就是一般项是幂函数的函数项级数，其形式为
(其中
注意n是从0开始的，所以第一项是一个常数
，这样这个幂级数才可以用来表示所有的幂级数。另外一类常见的函数项级数就是由三角函数组成的函数项级数，称之为三角级数；傅里叶级数就是一种三角级数。
设函数f(x)是以2
为周期的函数，如果存在确定的系数
使得
，则称三角级数
为函数f(x)的傅里叶级数，并称这些系数为傅里叶系数。有几个疑问：
1、为什么三角级数要写成
形式呢？
不好吗？初相哪里去呢？
2、如果求出
呢？
3、常数项为什么要写成
4、f(x)一定要以2
5、为什么要将一个函数f(x)展开成这样的三角级数呢？什么函数f(x)都可以展开成三角函数吗？
接下来解决这些疑问。
1、正弦（余弦）函数比其他三角函数更为普遍、简单；一般正弦函数表示为A sin(
)，其中A代表幅度，
余弦跟正弦只是初相不同而已）。这样，应该将函数f(x)展开成
形式；但是表达式中存在初相
就不利于计算、分析等，而
令
，
，x =
(数学上才写成x，电工学等则会写成
)，则f(x)即可表示成
2、要求
，需要用到三角函数系的正交性。三角函数系在某区间内的正交就是指该三角函数系内的任何不同的两个函数的乘积在这个区间的积分等于0.这里的区间可以是任意区间，但是区间长度必须是这个三角函数系里的每个函数的周期，不同区间长度要求不同三角函数系才能满足正交性；由于现在讨论的要展开傅里叶级数的函数f(x)是以2
为周期的，又为了积分方便，所以选择[-
]作为区间，对应的函数系为：
1，sin x,cos x,sin 2x,cos 2x,…,sin nx,cos nx,… 。
现在来验证这个三角函数系是否满足正交性，及验证其中的任何不同两个函数的乘积的在区间[-
]的积分是否等于0。则
(n,k>=1)
(n,k>=1且n<>k)
(n,k>=1且n<>k)
(n>=1)
(n>=1)
得证。
另外，对于相同的两个函数的情况：
(n>=1)
(n>=1)
现在，利用三角函数系的正交性来求
f(x)=
；
等式两边分别在区间[-
]求积分，有
=
，得
等式两边分别乘以
后在区间[-
]求积分，有
=
，得
等式两边分别乘以
后在区间[-
]求积分，有
=
，得
至此，第二个疑问解决，从中也可看到正交性对于求解傅里叶系数的重要性。
3、至于第三个疑问，其实有些是写成
；写成
，使得系数
，
，
都是以
(未完，待续！排版及格式转换还出现问题，待解决。
）