【動態規劃18】bzoj1010 [HNOI2008]玩具裝箱toy（斜率優化）

題目描述

P教授要去看奧運，但是他舍不下他的玩具，於是他決定把所有的玩具運到北京。他使用自己的壓縮器進行壓
縮，其可以將任意物品變成一堆，再放到一種特殊的一維容器中。P教授有編號爲1…N的N件玩具，第i件玩具經過
壓縮後變成一維長度爲Ci.爲了方便整理，P教授要求在一個一維容器中的玩具編號是連續的。同時如果一個一維容
器中有多個玩具，那麼兩件玩具之間要加入一個單位長度的填充物，形式地說如果將第i件玩具到第j個玩具放到一
個容器中，那麼容器的長度將爲 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 製作容器的費用與容器的長度有關，根據教授研究，
如果容器長度爲x,其製作費用爲(X-L)^2.其中L是一個常量。P教授不關心容器的數目，他可以製作出任意長度的容
器，甚至超過L。但他希望費用最小.

輸出輸出格式

第一行輸入兩個整數N，L.接下來N行輸入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7
輸出最小費用

O(n^2)的動規方程依然顯然。
f[i]=min(f[j]+(i−j−1+pre[i]−pre[j]−L)2)(j<i)
設k<j<i ，且從j轉移比從k轉移情況更優
f[j]+(i−j−1+pre[i]−pre[j]−L)2<f[k]+(i−k−1+pre[i]−pre[k]−L)2
好像可以優化？不過蒟蒻不是很會，強行剛。
然而似乎剛不動，我們還是考慮一下優化..
我們可以發現原式子可以變爲f[j]+(pre[i]+i)−(pre[j]+j)−(L+1)
那我們處理pre的時候再將pre[x]的值變爲pre[x]+x，並將L++
則原式變爲了f[j]+(pre[i]−pre[j]−L)2<f[k]+(pre[i]−pre[k]−L)2
那麼這個時候強剛還是可以做到的。
f[j]+pre[i]2−2∗pre[i]∗(pre[j]+L)+(pre[j]+L)2<=f[k]+pre[i]2−2∗pre[i]∗(pre[k]+L)+(pre[k]+L)2
移項，亂搞之後
pre[i]>=f[j]+(pre[j]+L)2−f[k]−(pre[k]+L)2)2∗(pre[j]−pre[k])
由於Ci>=1，所以不用考慮pre[j]與pre[k]相同的情況

#include<bits/stdc++.h>
#define fer(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define far(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)
#define ll long long
const int maxn=100010;
const int INF=1e9+7;
using namespace std;
/*----------------------------------------------------------------------------*/
inline ll read()
{
    char ls;ll x=0,sng=1;
    for(;ls<'0'||ls>'9';ls=getchar())if(ls=='-')sng=-1;
    for(;ls>='0'&&ls<='9';ls=getchar())x=x*10+ls-'0';
    return x*sng;
}
/*----------------------------------------------------------------------------*/
int n,L,h,t;
ll pre[maxn],f[maxn],q[maxn];
inline ll calcK(int k,int j)
{
    return (f[j]+(pre[j]+L)*(pre[j]+L)-f[k]-(pre[k]+L)*(pre[k]+L))/(2*(pre[j]-pre[k]));
}
int main()
{
    n=read();L=read()+1;
    fer(i,1,n)pre[i]=read()+pre[i-1]+1;
    h=t=0;
    fer(i,1,n)
    {
        while(h<t&&calcK(q[h],q[h+1])<=pre[i])h++;
        f[i]=f[q[h]]+(pre[i]-pre[q[h]]-L)*(pre[i]-pre[q[h]]-L);
        while(h<t&&calcK(q[t-1],q[t])>calcK(q[t],i))t--;
        q[++t]=i;
    }
    cout<<f[n];
}