Level Set方法簡介

　　Level Set方法是由Sethian和Osher於1988年提出，最近十幾年得到廣泛的推廣與應用。簡單的說來，Level Set方法把低維的一些計算上升到更高一維，把N維的描述看成是N＋1維的一個水平。舉個例子來說，一個二維平面的圓，如x^2+y^2=1可以看成是二元函數f(x,y)=x^2+y^2的1水平，因此，計算這個圓的變化時就可以先求f(x,y)的變化，再求其1水平集。這樣做的好處是，第一，低維時的拓撲變化在高維中不再是一個難題；第二，低維需要不時的重新參數化，高維中不需要；第三，高維的計算更精確，更魯棒；第四，Level Set方法可以非常容易的向更高維推廣；最後，也是非常重要的一點就是，上升到高維空間中後，許多已經成熟的算法可以拿過了直接用，並且在這方面有非常成熟的分析工具，譬如偏微分方程的理論及其數值化等。當然，這種方法最爲詬病的就是他增加了計算量，但新的快速算法不斷出現，使得這也不是個大問題。
 

Level Set的適用範圍：


　　這兒只是列舉一些經典的領域，但並不完全，如果你能在自己的領域找到新的應用，祝賀你。 Level Set最初始的應用領域就是隱含曲線（曲面）的運動，現在Level Set已經廣泛應用於圖像恢復、圖像增強、圖像分割、物體跟蹤、形狀檢測與識別、曲面重建、最小曲面、最優化以及流體力學中的一些東西。

 

Level Set需要掌握的知識：


　　學習和應用Level Set需要掌握偏微分方程理論及其數值化方法，其中又應該着重掌握偏微分方程中的Conversation Law，The Theory of Viscosity Solution(粘性溶液 ) and Hamilton-Jacobi Equation( 哈密爾頓-雅可比方程 )及其數值化方法。同時，在學習Level Set的時候也會經常遇到變分法和測度論的一些內容，但對這兩方面的要求不高，瞭解一下就行了。

 

Level Set的推薦讀物：


（1） Stanley Osher and Ronald Fedkiw. Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces. Springer-Verlag (2002). 評點：這本書是創始人之一Osher寫的，這本書是論述Level Set的最完整的書籍之一，更偏重於數值化的高精度解，應用領域涉及圖像處理以及計算物理。
（2） James A. Sethian. Level Set Methods and Fast Marching Methods. Cambridge University Press (1999). 評點：這是另外一個創始人Sethian的作品，與Osher的書互有側重，互相補充，這本書更偏重於Fast Marching Methods, 非結構化網格，涉及的應用領域更廣泛。
（3） Guillermo Sapiro, Geometric Partial Differential Equations and Image Analysis, Cambridge University. 評點：這本書對理解Level Set也非常有幫助，它更偏重於圖像中的幾何特徵，如曲率等，對幾何偏微分方程介紹的比較詳細。
（4） Gilles Aubert and Pierre Kornprobst，
Mathematical problems in image processing: Partial Differential Equations and the Calculus of Variation, Springer, Applied Mathematical Sciences, Vol 147, 2002。這本書數學味太濃，一般人沒興趣讀下去，但如果你確實想對你的方法奠定更好的理論基礎，這本書就非常有用了，它可以指導你應該在哪方面下功夫。另外，這邊書的前言和第一章寫的非常好，非常值得一讀。
總評：（1）和（2）是學習Level Set常備案頭的手冊， 如果你想深入，（3）和（4）也應該看一看。

 

Level Set推薦文章


（1） Osher, S., and Sethian, J.A., Fronts Propagating with Curvature-Dependent Speed: Algorithms Based on Hamilton–Jacobi Formulations, Journal of Computational Physics, 79, pp. 12–49, 1988. 評點：這是開創Level Set的一篇文章，必讀。
http://math.berkeley.edu/~sethian/Publications/publications.html
這兒可以下載，但是這兒下載的文章只有文字沒有圖，要想看真正原版的，到圖書館複印吧。

（2） Osher, S. and Fedkiw, R., “Level Set Methods: An Overview and Some Recent Results”, J. Comput. Phys. 169, 463-502 (2001). 評點：這是一篇比較早的綜述，UCLA CAM Report 00-08。
http://www.math.ucla.edu/%7Eimagers/htmls/reports.html可以下載。

（3） Richard Tsai and Stanly Osher，level set methods and their applications in image science，COMM. MATH. SCI. Vol. 1, No. 4, pp. 623-656 評點：這篇綜述內容更豐富些，結果也比較新。intlpress.com/CMS/issue4/levelset_imaging_chapter.pdf 可以下載。
總評：關於Level set的文章太多，無法一一列舉，強烈建議到下面的網址逛一逛，那兒有最新的文章。http://www.math.ucla.edu/~imagers/reports.htm

 

Level Set推薦網站：


（1）http://math.berkeley.edu/~sethian/level_set.html
評點：這是Sethian的網站，上面關於Level Set的論述非常多，分門別類，非常清晰。
（2）http://www.math.ucla.edu/~imagers/
評點：這是UCLA的研究組，由Osher創辦，關於Level Set的新進展幾乎都跟他們相關，這個網站是關注Level Set的最新新聞的最好的地方。

Level Set的工具包：
http://www.cs.ubc.ca/~mitchell/ToolboxLS/index.html評點：這是Michell開發的工具包，通用性比較好，缺點是自己修改起來非常麻煩。建議自己重新寫這些函數，可以把這個工具包拿來驗證自己寫的對否。

本文引用地址： http://www.sciencetimes.com.cn/m/user_content.aspx?id=253159