今天來詳細介紹下二叉搜索樹的一些操作以及代碼實現；
參考書籍：《算法導論第三版》（二叉搜索樹的相關章節），《數據結構與算法》
一，二叉搜索樹的定義
一顆二叉搜索樹是以一顆二叉樹來組織的，這樣的一棵樹可以使用一個鏈表數據結構來表示：
struct TreeNode
{
TreeNode* le; //需要注意，C語言中需要這樣寫：struct TreeNode* le，下同，寫慣了C++的人這裏是一個小坑
TreeNode* rh;
int value;//有些時候會加上父親節點 TreeNode* pa;
}現在我們有了樹的數據結構，可以給出二叉樹的定義了： 設 X是二叉搜索樹中的一個節點。如果Y是 X左子樹中的一個節點，那麼 必定有： Y.value<= X.value。 如果Y是X右子樹中的一個節點，那麼，必定有Y.value>=X.value ;
這是算法導論上的定義，翻譯一下就是對於任意一個二叉搜索樹中的節點，左子樹中的任意一個節點的值都會小於它的值，右子樹中的任意一個節點的值都會大於它的
值
二叉搜索樹本身是自排序的，看定義就明白了，一直往右是最大值，一直往左是最小值，因此二叉搜索樹可以作爲一個優先級隊列，這個以後介紹。
二叉搜索樹的基本操作所花費的時間和這個樹的高度是成正比的，對於一個有N個節點的二叉搜索樹的各種操作的平均時間是O(logn); 當極度不平衡時，即任意節點沒
有左子樹或者右子樹時，退化爲鏈表；
二，二叉搜索樹的插入操作
插入操作挺好理解的，就是從根節點開始往下走，如果插入的值大於等於該節點的值就往右子樹走，否則就往左子樹走，這裏我就直接貼代碼了，代碼中有詳細的註釋
#include<iostream>
using namespace std;
struct TreeNode
{
TreeNode* le;
TreeNode* rh;
int value;
};
void addNodeToSearchBT(TreeNode** ptrPtrRoot, int k)
{
TreeNode* pa = nullptr; //用於保存插入位置的父節點，因爲下面循環中出來的節點是nullptr
auto root = *ptrPtrRoot;
while (root != nullptr)
{
//循環遍歷比較，判斷該往左走還是往右走
pa = root;
if (k >= root->value)
root = root->rh;
else if (k < root->value)
root = root->le;
}
TreeNode* newNode = new TreeNode;
newNode->le = nullptr;
newNode->rh = nullptr;
newNode->value = k;
//這兒就是簡單的判斷大小然後插入就可以了
if (pa == nullptr)
{
*ptrPtrRoot = newNode; //二叉樹爲空
return;
}
if (k >= pa->value)
pa->rh = newNode;
else if (k < pa->value)
pa->le = newNode;
}三，二叉搜索樹的刪除操作
這裏感覺第一次看還是比較複雜的，會詳細的介紹，一般來說都是使用被刪除節點的右子樹中的最小值作爲替換節點，所以下面就不討論使用左子樹的最大值作爲替換
節點的情況了；
首先第一步當然是找到這個要被刪除的節點，假設這個節點是D, 需要注意的是，我們這裏並沒有使用雙向鏈，所需需要保存D節點的父親節點，因爲，拼接子樹的時候
需要用到父親節點，這裏假設爲Dpa;，被用來替換的節點假設爲X;
1.如果D是葉子節點，直接刪除就OK，見圖一
2.如果D有子樹，並且只有右子樹，那也就是可以直接將D的右子樹接到Dpa上就可以，見圖二
3.如果D有子樹，並且只有左子樹，那麼直接將D的左子樹接到Dpa上就可以，見圖三
4.如果D有兩個子樹，那麼就找到右子樹中的最小值，也就是從D開始一直往左走，直到走到葉子左子樹爲空的節點，那麼我們就找到可以被用來替換的節點了，見圖四
圖一 圖二
圖三 圖四
接下來只需要把X接到D的位置上，並且把X的右子樹接到它的父節點的左子樹上就可以了；下面把代碼貼上來，代碼中註釋的很詳細
TreeNode* findNodeInSearchBT(TreeNode*root, int k, TreeNode**pa = nullptr)
{
//這裏是不需要進行null判斷的，因爲後面隱式的判斷了是否爲null
while (root != nullptr)
{
if (k > root->value)
{
*pa = root;
root = root->rh;
}
else if (k < root->value)
{
*pa = root;
root = root->le;
}
else
break; //找到了相應的節點
}
//找到了相應的節點就返回該節點，若不存在該節點的父節點則返回nullptr
return root;
}
bool deleteNodeInSearchBT(TreeNode*root, int k)
{
TreeNode*PatoDelete = nullptr; //用於保存D的父節點
TreeNode* toDelete = findNodeInSearchBT(root, k, &PatoDelete); //找到D節點
//需要先判斷一下是否找到了這個節點，沒找到就直接返回false
if (nullptr == toDelete)
return false;
//D節點沒有左子樹，或者左右子樹都沒有 第一第二中情況
if (toDelete->le == nullptr)
{
if (k < PatoDelete->value)
PatoDelete->le = toDelete->rh; //需要把這個父節點的左節點替換爲用來替換的節點
else
PatoDelete->rh = toDelete->rh; //這裏就是右子樹需要被替換了
delete toDelete;
return true;
}
//D節點沒有右子樹第三種情況
if (toDelete->rh == nullptr)
{
if (k < PatoDelete->value)
PatoDelete->le = toDelete->le; //需要把這個父節點的左節點替換爲用來替換的節點
else
PatoDelete->rh = toDelete->le; //這裏就是右子樹需要被替換了
delete toDelete;
return true;
}
//D節點左右子樹都有，第四種情況
auto minInRh = toDelete;
TreeNode* minInRhpa = nullptr; //這裏用來保存用來替換的節點的父節點
while (minInRh->le != nullptr)
{
minInRhpa = minInRh;
minInRh = minInRh->le;
} //找到X節點，保存了其父節點
//其實這裏就是對X做了一次刪除操作，只不過這個X一定是第一種或者第二種情況
minInRhpa->le = minInRh->rh; //這裏右子樹是否非空是沒有關係的；直接對X使用第一或者第二中方法刪除，然後用X替換D
//需要把用來替換的節點的左右子樹換成被刪除子樹的左右子樹，不然就把樹給弄斷了
minInRh->le = toDelete->le;
minInRh->rh = toDelete->rh;
//一切準備就緒，可以替換了
if (k < PatoDelete->value)
PatoDelete->le = minInRh; //需要把這個父節點的左節點替換爲用來替換的節點
else
PatoDelete->rh = minInRh; //這裏就是右子樹需要被替換了
//注意不要忘記釋放空間了
delete toDelete;
//走到了這裏說明一切都很順利，可以返回true了
return true;
}三，遍歷操作
中序遍歷：左子節點--父節點--右子節點
void midTraverse(TreeNode*root)
{
if (root == nullptr) return;
midTraverse(root->le);
cout << root->value;
midTraverse(root->rh);
}前序遍歷：父節點--左子節點--右子節點
void midTraverse(TreeNode*root)
{
if (root == nullptr) return;
cout << root->value;
midTraverse(root->le);
midTraverse(root->rh);
}後序遍歷：左子節點--右子節點--父節點
void midTraverse(TreeNode*root)
{
if (root == nullptr) return;
midTraverse(root->le);
midTraverse(root->rh);
cout << root->value;
}
四，二叉樹的重建---通過三種遍歷方式中的兩種重建二叉樹
待續。。。。。。