最小生成樹 - prim 算法

      最小生成樹 ：在一個有n 個結點的連通圖G中，G的一個連通子圖中包含原圖中的所有 n 個結點，在使邊的權之和最小的情況下含有使保持圖連通的最少的邊。這個連通子圖就是  G 的一個最小生成樹。

      注：最小生成樹不唯一，但是邊的權之和唯一。

      求最小生成樹有兩個常用的算法 ：kruskal(克魯斯卡爾）算法  和 prim(普里姆）算法，這一節講 prim 算法；

      將設有兩個數組 T，U 其中 T存連通圖的所有點，U存最小生成樹的點，起初 U 中 只含有一個點 s。首先在T-U中尋找U中s鄰接點中距離s最近的一個點 a 加入U中，然後再在T-U中尋找 s,a 的鄰接點 距離 a 或 s 最近的一個點將其加入U中重複上述操作，直到 T  = U 爲止。

      文字理解較困難，看代碼：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAXN 1000
int map[MAXN][MAXN];
int dis[MAXN];
int vis[MAXN];
void init(){ 初始化，這裏的map用來儲存圖，vis 用來標記是否在最小生成樹的集合中(就相當於進了U數組)
	memset(map,INF,sizeof(map));
	memset(vis,-1,sizeof(vis));
}
int prim(int n,int start){ //n是點的個數，start 是 起始點
	int i,j,sum = 0,cnt = 1;
	
	for (i=1;i<=n;i++) //開始將與起始點的距離都存入dis數組
	dis[i] = map[start][i];
	vis[start] = 1; //標記起始點進入最小生成樹的集合中
	dis[start] = 0; //距離本身爲零
	for (i=1;i<n;i++)
	{
		int k, min = INF;
		for (j=1;j<=n;j++)
		{
			if (vis[j] == -1 && dis[j] < min) //選擇距離被標記的點距離最近的點
			{
				min = dis[j];
				k   = j;
			}
		}
		if (min != INF) //當找到距離最小點時進入
		{
			vis[k] = 1; //標記
			sum += min; //將權值加起來
			cnt ++;     //記錄被標記的數目
			
			if (cnt == n) //當標記了n個點時就說明最小生成樹確定了
			break;
			
			for (j=1;j<=n;j++) //更新距離start點的距離
			{
				if (vis[j] == -1 && dis[j] > map[k][j])
				dis[j] = map[k][j];
			}
		}
	}
	return cnt == n ? sum : -1; //如果找出了最小生成樹就返回權值和，如果不存在最小生成樹就返回 -1
}
int main (){
	int i, k, n, m, a, b, c;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	init();
	for (i=0;i<m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		map[a][b] = c;
		map[b][a] = c;
	}
	int ans = prim(n,1);
	printf("%d\n",ans);
}

注：還可以根據一個圖是否有最小生成樹判斷是否是連通圖