數值積分
3. 外推算法.
在前面我們已經知道,通過逼近,我們可以對一個離散的序列求得它的函數積分的值的大小,通過外推算法我們可以用這樣一個逼近序列來生成新的逼近序列,在新的序列下,我們可以更準確地接近原函數,從而更加準確地求出積分,這樣的方法叫外推算法.
算法1: Richardson算法
對於由一個步長定義的某個函數,如果我們對於步長值h使用比例因子進行scale的話,在比例因子爲一定取值的時候,發現得到的新逼近序列比原序列的逼近誤差更小,這樣的外推算法叫Richardson算法.
算法2: Romberg算法
想法跟上面的Richardson算法類似,不過如果每次的scale值都進行1/2細化,這樣的話,逼近的結果會比原序列的更好,這樣的外推算法叫Romberg算法.
4. 用樣條函數求解數值積分問題
將樣條空間進行N等分,並在每個樣條節點處都進行一個點的拓延,那麼這樣的話,就可以對樣條函數進行積分,有比較好的收斂性,這樣的積分也會比較準確.
5. 振盪函數的積分
對於振盪函數,我們可以利用分部積分法,對於每一個單符號空間進行分別的積分,並最後求和.但是有一個很大的問題在於,我們需要計算f(x)在端點處的高階導數.
數值微分
數值微分可以認爲是數值積分的反運算,與積分相反,我們在做數值微分的時候基本的方法就是使用差商來近似微分運算.基於這樣的想法我們可以設定一個插值函數,讓它的微分等於原函數的微分,那麼我們就可以用這個插值函數來求解原始的數值微分運算了.
其實數值微分中應用的思想跟數值積分的思想極爲類似,我們除去用基本的方法來求解之外,也可以使用樣條函數來進行求解,方法想法也是一樣的,假設設定一個樣條函數的微分值與原函數相同,那麼我們求解這個問題得到的結果就是我們想要得到的結果.並且我們爲了得到更加理想的逼近效果,我們可以使用外推公式來用新的生成序列來代替原始的插值序列,得到加速收斂.從而求得更加準確的微分結果.
正交多項式和數值積分的進一步討論
在之前的插值公式中,我們限定所有的插值節點之間都是等距的,那麼如果在插值節點個數確定的情況下,如果我們不限定等距條件,如何進行逼近呢?這就是正交多項式中的逼近理論.
1. 正交多項式的性質
一個權函數就是一個值定大於等於0,積分值大於等於0,且與一個多項式值進行混積的時候的積分值存在的函數.兩個多項式序列,如果與一個權函數混積之後積分發生正交關係的話,我們就叫這兩個多項式序列在區間上帶權n次正交.
常見的正交的多項式有:勒讓德多項式,第一類契比曉夫多項式,第二類契比曉夫多項式,拉蓋爾多項式,埃爾米特多項式等.
2. 高斯型的求積公式
利用正交多項式的性質,把原始函數與權函數相混積的數值積分式轉變爲由正交多項式的和的形式.由權函數的不同,使用的正交多項式的類型也不同,這樣就有了各種各樣的求積公式.比如高斯-勒讓德,高斯-拉蓋爾,高斯-埃爾米特,高斯-契比曉夫等公式,差別就在於構造出的Ak的值的不同.
3. 奇異積分的數值方法
對於在在(0,1]中連續但是在x=0處無界的函數,那麼對於這樣的一個函數的在(0,1]上的積分稱爲反常積分.這時我們可以把出現反常值的點進行正常代換,這樣我們就可以用正常積分的計算方法得到積分值.其次,我們可以用極限過程在反常點處進行取極限的運算,取得的結果就會比較快地逼近準確值.再一個方法我們可以把反常點進行截尾分析估計，當這部分估計值小於某一個小的正數值的時候，我們定義這樣的結果是可以被接受的。方法4,我們可以通過消除它的一些奇性來得到反常函數的麼常積分。
對於無窮積分我們也有類似的處理辦法。方法1，按極限方式運算，方法2，使用高斯型求積公式計算，方法3,利用插值公式進行計算，方法4,利用樣條函數進行計算。