曲线拟合的最小二乘法（基于OpenCV实现）的，拟合图像中离散点的拟合直线

   今天使用拟合的最小二乘法，求出了给定的一组座标系上的点对最接近的直线的。
　　其具体理论如下：
   在科学实验数据处理中，往往要根据一组给定的实验数据，求出自变量x与因变量y的函数关系，这是为待定参数，由于观测数据总有误差，且待定参数ai的数量比给定数据点的数量少(即n＜m)，因此它不同于插值问题.这类问题不要求通过点，而只要求在给定点上的误差的平方和最小.当时，即
　　　　　　　　　(5.8.1)
这里是线性无关的函数族，假定在上给出一组数据，以及对应的一组权，这里为权系数，要求使最小，其中
　　　　　　　　　　　(5.8.2)

这就是最小二乘逼近，得到的拟合曲线为y=s(x)，这种方法称为曲线拟合的最小二乘法.
　　(5.8.2)中实际上是关于的多元函数，求I的最小值就是求多元函数I的极值，由极值必要条件，可得
　　　　　　(5.8.3)
根据内积定义(见第三章)引入相应带权内积记号
　　　　　　　　　　　　　(5.8.4)
则(5.8.3)可改写为
　　　　　
这是关于参数的线性方程组，用矩阵表示为
　　　　　　　　　　　　(5.8.5)
(5.8.5)称为法方程.当线性无关，且在点集上至多只有n个不同零点，则称在X上满足Haar条件，此时(5.8.5)的解存在唯一(证明见［3］).记(5.8.5)的解为
　　　　　　　　
从而得到最小二乘拟合曲线
　　　　　　　　　　(5.8.6)
可以证明对，有
　　　　　
故(5.8.6)得到的即为所求的最小二乘解.它的平方误差为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5.8.7)
均方误差为
　　　　　　　　　　
　　在最小二乘逼近中，若取，则，表示为
　　　　　　　　　　　　　(5.8.8)
此时关于系数的法方程(5.8.5)是病态方程，通常当n≥3时都不直接取作为基。

源代码如下：
基于OpenCV
int calAngle(IplImage **lpSrc, IplImage **lpRes, double* angle)
{
    long double a,b,q;
    long double u11,u12,u21,u22,c1,c2,p;
    int i,j;
    MYPOINT *points = 0;
    IplImage *src = *lpSrc;
    IplImage *res = *lpRes;
    int step = src->widthStep/sizeof(char);    //排列的图像行大小，以字节为单位
    uchar *srcData = (uchar*)src->imageData;
    int elementCount = 0;
    MYPOINT tempPoint;
    MYPOINT *interatorPoint;
    CvPoint startPoint, endPoint;

    res = cvCreateImage( cvGetSize(src), 8, 3 );
    memset(res->imageData, 0x00, (src->width)*(src->height));

    u11 = 0.0;
    u12 = 0.0;
    u21 = 0.0;
    u22 = 0.0;
    c1 = 0.0;
    c2 = 0.0;
    p = 0.0;

    points = (MYPOINT*)malloc((src->height) * sizeof(MYPOINT));
    interatorPoint = points;
    for (j = 0; j < src->height; ++j)
    {
        for (i = 0; i < src->width; ++i)
        {
            if (srcData[j*step + i] == 255)
            {
                tempPoint.x = i;
                tempPoint.y = j;
                *interatorPoint = tempPoint;
                ++interatorPoint;
                ++elementCount;
                break;
            }
        }
    }

    interatorPoint = points;
    for (i = 0; i < elementCount; i++)//列法方程
    {
        if (0 == i)
        {
            startPoint.x = (*interatorPoint).x;
            startPoint.y = (*interatorPoint).y;
        }
        u11+=1.0;
        u12+=(*interatorPoint).x;
        u22+=(*interatorPoint).x*(*interatorPoint).x;
        c1+=(*interatorPoint).y;
        c2+=(*interatorPoint).y*(*interatorPoint).x;
        ++interatorPoint;
        //printf("##:%d:/t    %lf, %lf, %lf, %lf, %lf%\n", i, u11, u12, u22, c1, c2);
    }
    u21=u12;
    a=(c1*u22-c2*u12)*1.0/(u11*u22-u12*u21);//求a,b的解
    b=(c1*u21-c2*u11)*1.0/(u21*u12-u22*u11);

    interatorPoint = points;

    for(i = 0; i < elementCount; i++)
    {
        (*interatorPoint).z=a+b*(*interatorPoint).x;
        p+=pow(((*interatorPoint).z-(*interatorPoint).y),2);
        ++interatorPoint;
    }

    q=sqrt(p);

    //输出线性方程
    printf("answer:s(x)=%lf+%lf(x)\n",a,b);

    endPoint.y = src->height - 1;
    endPoint.x = ( endPoint.y -a ) / b;
    printf("endPoint:%d, %d\n", endPoint.x, endPoint.y);
    //输出均方误差
    printf("均方误差:q=%lf\n",q);

    *angle = atan(b);
    printf("Angle is: %f", *angle*180.0/PI);

    cvLine(res, startPoint, endPoint, CV_RGB(0,255,0), 1, 8 );

    cvReleaseImage(lpRes);

    *lpRes = res;

    free(points);
    return 0;
}

拟合后的结果如下：
其中左边是离散的一些点，右边绿色的线是拟合后的直线。