2017.3.11模擬賽題解

3.11小題解

T1 中位數（median.cpp/c/pas）
本題數據範圍n有十萬。根據時間複雜度，多是n log n,或是n的算法。這裏我給出的是O（n）的。

50%分數

   將讀入數據簡化處理，大於k的記爲1，小於k的記爲-1，等於k的記爲0，並且用p記錄這個位置。我們用一個數組記錄簡化後的前綴和。用普遍的區間操作來做。兩個for循環，i:1->p,j:p->n。判斷區間[i,j]和是否爲0是的話ans++；

100%分數

   根據50%分數的做法。我們同樣是記錄前綴和。不過要開一個桶f[sum][2]數組分別記錄在p前與在p後當前綴和爲sum的數量。不過由於c++中數組下標不能爲負數。只能再在sum的基礎上加個n。根據區間和的思想，想讓區間[i,j]和爲0時，顯然前綴i-1和，前綴j和要相等。根據乘法原理，我們可以得到數目爲f[sum][0]*f[sum][1]的情況。

開個for求一下總和就好了。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void write(int x){
    if(x<0){putchar('-'); x=-x;}
    if(x>=10) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
void writeln(int x){
    write(x);
    puts("");
}

const int N=100010;
int a[N],b[N],c[N];
int f[N*2][2];
int n,k,cnt,l=0,ans;

int main(){
    freopen("median.in","r",stdin);
    freopen("median.out","w",stdout);
    n=read(); k=read();
    f[n][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=read();
        if(a[i]>k)
            cnt+=1;
        else if(a[i]<k)
            cnt-=1;
        ans+=f[cnt+n][(i+1)%2];
        f[cnt+n][i%2]++;
    }
    write(ans);
    return 0;
}

T2 幸運數（lucky.cpp/c/pas）

20%分數

    可以直接從1開始枚舉，判斷每個數裏面是否有49；

100%分數

    顯然的數位DP，我們開個f[i][j]數組存i位數j開頭的數之前有多少的數含有49。然後就非常的基礎。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

inline void write(ll x){
    if(x<0){putchar('-'); x=-x;}
    if(x>=10) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
void writeln(ll x){
    write(x);
    puts("");
}

ll n,num;
ll f[25][10];
ll a[25];
ll bin[19]={1,10,100,1000,10000,100000,1000000,10000000,100000000,1000000000,10000000000,100000000000,1000000000000,
            10000000000000,100000000000000,1000000000000000,10000000000000000,100000000000000000,1000000000000000000};

void dp(){
    for(ll i=0;i<=9;i++)
        f[1][i]=0;
    for(ll k=2;k<=20;k++)
        for(ll i=0;i<=9;i++)
            for(ll j=0;j<=9;j++){
                if(i==4&&j==9) f[k][i]+=bin[k-2];
                else f[k][i]+=f[k-1][j];
            }
}

void shu(){
    ll ans=0,q=0;
    for(ll i=num;i>=1;i--){
        if(a[i+1]==9&&a[i+2]==4){
            ll x=0;
            for(ll k=i;k>=1;k--) x=x*10+a[k];
            ans+=x+1;
            write(ans);
            return;
        }
        if(i==1)
            for(ll j=0;j<=a[i];j++)
                ans+=f[i][j];
        else
            for(ll j=0;j<a[i];j++)
                ans+=f[i][j];
    }
    if(a[1]==9&&a[2]==4)
        ans++;
    write(ans);
}

int main(){
    freopen("lucky.in","r",stdin);
    freopen("lucky.out","w",stdout);
    char ch[25];
    scanf("%s",ch);
    num=strlen(ch);
    for(ll i=num;i>=1;i--)
        a[i]=ch[num-i]-'0';
    dp();
    shu();
    return 0;
}

T3 小球（ball.cpp/c/pas）

    這道題非常的水。。。別看數據大，其實暴力就能AC。我們可以簡單的證明一下。由於每次倒的時候都需要倒入與原來小球相等的數量，於是最後的一次操作就是兩個杯子的小球數量相等。所以他們的小球數量和爲偶數。在一開始的時候我們可以這麼判斷，如果不是則直接-1結束。是的話，如果是兩個偶數，怎麼倒都不會出現奇數，我們可以先一起除2到兩個都是偶數的情況，有一奇一偶同樣可以直接-1結束。之後大數減去小數，小數自乘2。操作數+1。繼續重複上面的操作，直到有個數爲0，輸出操作數。

    爲什麼這樣的複雜度不會爆炸呢？我們可以用二進制的思想來考慮。當兩個數都爲奇數時，相當於二進制末尾爲1，其中大數減去小數，小數自乘2之後。末尾的兩個1都變成了0。對答案沒有影響後就可以將這位0去掉，這樣每次操作都會少一位，總操作數就不會超過log n，時間複雜度妥妥的。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void write(int x){
    if(x<0){putchar('-'); x=-x;}
    if(x>=10) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
void writeln(int x){
    write(x);
    puts("");
}

struct data{
    int a,b;
}p,q;



int a,b;
int ans;
map<data,bool> m;

bool operator <(data a,data b){
    return (a.a<b.a)||(a.a==b.a&&a.b<b.b);
}

int gcd(int x,int y){
    if(x%y==0) return y;
    return gcd(y,x%y);
}

int main(){
    freopen("ball.in","r",stdin);
    freopen("ball.out","w",stdout);
    a=read(); b=read();
    if((a+b)%2!=0){
        write(-1);
        return 0;
    }
    if(a<b) swap(a,b);
    int g=gcd(a,b);
    a/=g; b/=g;
    while(1){
        if(a==b){
            write(ans+1);
            return 0;
        }
        p.a=a; p.b=b;
        if(m[p]){
            write(-1);
            return 0;
        }
        m[p]=true;
        a-=b; b*=2;
        if(a<b) swap(a,b);
        g=gcd(a,b); a/=g; b/=g;
        ans++;
    }
    return 0;
}