構造不可測集-Vitalie Set

我在這篇文章中主要通過構造Vitalie Set來得到一個不可測集（第一次寫關於數學的文章，感覺真的蠻難的）。主要參考http://blog.pluskid.org/?p=765，這篇文章寫的更好，推薦一下。
還有wiki上的一些內容：https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set

思路：先通過等價類來得到一個集合，這裏用了一個選擇公理，我不是很理解。然後通過假設這個集合可測，使用兩種推論方法，得到測度不相同，使用反證法可得假設錯誤，也就是集合不可測。

1. 等價類定義
   if x-y = q , q ∈ Q
   then 稱x,y 等價,記爲x~y。
   稱 [x] = { y∈R：y~x}爲x的等價類。

2. 構造不可測集（Vitalie Set）
   在[0,1]上，從每個等價類中取一個元素，構成集合V。

3. 證明Vitalie Set 不可測。
   設Qa ={q: Q ∩ [-1,1]},顯然Qa是可列集。（有理數集就是可列集）

   設Vk = { v+qk: v∈V}。
   因爲Vk是可列可加的，所以有
   
   因爲 是可測的，所以當 =0時， = 0，當 爲大於0的數時， =無窮 ——–conclusion1
   但是我們可以證明 是1~3之間的一個值（如果當 是可測的）。
   推導
   對於任意x∈[0,1]，x∈Vk。因爲V內必有一個x的等價類，記爲y，y - x = q ∈ [-1,1],那麼x∈Vk。又顯然∈[-1,2]。所以 的測度爲1~3之間，這與上面的結論矛盾，所以假設錯誤，即Vitalie Set 不可測。