接下來說說ETS模型，在R的forecast庫中有實現。
> library(fpp2)
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Loading required package: ggplot2作者Rob Hyndman是個H-index 54，citation過兩萬的大牛。他故意用這三個字母來使這個模型的名字能顧名思義(reminiscent)，既可以理解爲Error, Trend and Seasonality，又可以解作ExponenTial Smoothing模型。前者揭示了模型的三個組成部分，後者則描述了模型的工作原理。準確的說，ETS實際上是一整個系列的算法，可以基於這三個組成部分任意組合，而Hyndman寫的forecast庫中可以用ets()方法自動選擇三個component的組合。
之所以要從這個模型寫起，是因爲這個模型既足夠強大，又足夠簡明。它可以預測以下幾種時間序列：- 無趨勢(trend)，無季節性(seasonality) 比如我上個月跑了十次5公里，根據這十次時間估計我接下來一次要跑多久
- 有趨勢，無季節性 比如我剛開始學打字，一開始打1000個詞要4個小時，以後隨着熟練程度遞減，預測下一次時間
- 有趨勢，有季節性 比如零售業的銷售數據，趨勢體現的可能是整個行業的冷暖，季節性則跟氣溫、假日有關
- 無趨勢，有季節性 比如近十年某地氣溫的變化，十年這樣的短週期裏也許體現不出大的趨勢變化，但季節性是顯著的
不僅如此，由於它的error component既可以是additive的又可以是multiplicative的，它還能預測有季節性且在每個週期內幅度有變化的序列。比如電力供應，由於用的起空調之類製冷設備的家庭變多了，季節性的振幅可能是逐漸遞增的。
最簡單的ETS
最簡單的ETS是ses模型，即simple exponential smoothing。這個模型只能解決沒趨勢也沒季節性的時序。它的公式如下：
公式是從Hyndman的書上抄來的。這個公式的設計基於怎樣的考慮呢？Hyndman是這麼說的。設想兩個極端情況，一個情況是永遠只採用當下的值來預測下一個值。假設數據完全沒有任何規律，這也不失爲一個方案吧。另一個情況是，對所有觀測到的點作平均，這樣預測值其實是樣本集的均值。起碼這樣搞能讓訓練集上的方差小，而且用到所有點了，但不能反映出很多序列裏recency很重要的特點。近期的觀測值的確往往比遠古觀測值更有意義。然後ses就出現了：hey，我就是折中方案。我給近期的觀測值更高的權重，但也用到所有過去的點。如果alpha值爲1，則相當於把除當下值Yt以外的所有點權重都賦爲0了。假如alpha爲0.5，那權重就是個標準的底爲0.5的指數函數。而無論alpha是多少，權重decay的速度都是由(1-alpha)的指數函數決定的，所以叫exponential smoothing。讓alpha充分的接近0的話，各個點位的權重就會更平均，衰減速度更慢。
雖然應用場景有限，ses的確是個很精緻的方案。非常不幸的是，它完全木有辦法對趨勢建模。看個例子
> x_st = ts(1:10,start=c(1,1),frequency=5)
> autoplot(x_st)
上ses會發生什麼呢？ses可以用h參數指定預測多少個時間點，用alpha指定公式中的權重參數。我們先看一下alpha=1的情況，也即使用前一個值預測下一個值。注意由於alpha值域在0和1之間，這裏用了0.9999作爲近似
> autoplot(ses(x_st,h=4,alpha=0.9999))
如所預料，它取了最近的值，10，作爲接下來4個點的預測值。再換alpha=0.5試試
> autoplot(ses(x_st,h=4,alpha=0.5))
當alpha充分接近0時，預測值逼近觀測值均值。這一點在公式中看不出來，但應該跟y0有關。具體可以看源碼，這裏不深入。
總結一下，ses對未來的預測來自對過去觀測值賦予不同權重的求和，權重衰減函數是個指數函數，體現的其實是觀測值的分佈特性。它的預測曲線是個常數，與X軸平行，無法反映出歷史數據中的趨勢。
關於趨勢 Trend
不能處理趨勢，這可用性就相當不靠譜了。爲了解決這個問題，有個叫Holt Winter的人給ses的模型加了一個component，
公式依然抄自Hyndman的書。這裏公式已經略有些複雜，可以在紙上自己展開，但不太方便打字了。這裏理解的關鍵在於，alpha依然是用於確定觀測值衰減速度的參數，但對於過去的點還考慮了每個點處的趨勢量。趨勢量本身也是採用了權重來估計的，並不僅採用過去一個點到當前點的變化趨勢，而是把之前每個點的趨勢都用一個指數衰減函數引入。這樣的設計可以使曲線平滑。看一下案例，還是用之前的數據例子
autoplot(hw(x_st,h=4))
可見這個線形趨勢被很好地capture了。換個數據集
> x_st = ts((1:10)^2,start=c(1,1),frequency=5)
> autoplot(hw(x_st,h=4))
顯然，非線性趨勢也可以被capture到，只是由於未指定alpha值，自動選擇的alpha顯然考慮了比最近一個值更多的點，故而第一個預測值小於最後一個觀測到的值，這和人類的直覺不符。我們可以通過調整hw()方法的參數來解決這個問題。
關於季節 Seasonality
解決了trend，是否就完滿了呢？顯然不是這樣。再來一個數據集
> x = ts(rep((-2:2)^2,4),start=c(1,1),frequency = 5)
> autoplot(x)
認爲製造了一個週期爲5的seasonal的數據集。上holt-winter算法試試看：
第一眼會覺得很奇怪，我們並沒有給出seasonal component啊，爲什麼這個模型會成功重構歷史數據的模式？注意到Holt-Winters' additive method了麼？原來forecast這個庫裏實現的是改進後的holt-winters方法，這個版本有一個seasonality的component，而且整出倆版本：
和
公式依然是從Hyndman祖師爺那裏抄來的。第一個是multiplicative版本，第二個是additive版本。前者能更好的解決振幅動盪迅速變大的時序數據。
看到這裏，ets的故事基本講完了。漏過了一個維度：dampened trend，但這個component也是ets方法能夠自動估計是否需要的，大致含義就是允許趨勢逐漸減弱迴歸到水平。
總結
用祖師爺Hyndman的表格做個總結
實際應用中我們只需要ets()基本就夠了
> fit = ets(x)
> checkresiduals(fit)由於是用完美的數學函數生成的數據集，可以看到罕見的0殘值：
注意圖中提到的ETS(A,N,A)，對應上表可以搞清楚這個自動估計的ETS模型用了哪些components。第一個A是error，說明用的是additive error，第二個N表示沒有trend，第三個A表示有additive seasonality。這完美匹配我們之前手動用hw()得到的預測模型。
侷限與不足
在應用中，我發覺ETS起碼有兩個不足。第一，對週期長的序列，由於要估計的參數極多，會無法handle或異常慢。第二，無法方便的嵌入external variables。這些在下一篇討論ARIMA時再進一步討論。