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斐波那契數列
- 斐波那契數列
- Fibonacci sequence
- 黃金分割數列、兔子數列
- 斐波那契
- 數學
- 代數
目錄
斐波那契數列指的是這樣一個數列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368
特別指出：第0項是0，第1項是第一個1。
這個數列從第2項開始，每一項都等於前兩項之和。
斐波那契數列的發明者，是意大利數學家列昂納多·斐波那契（Leonardo
Fibonacci），生於公元1170年，卒於1250年，籍貫是比薩。他被人稱作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫了《算盤全書》（Liber
Abacci）一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業團體聘任爲外交領事，派駐地點相當於今日的阿爾及利亞地區，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數學。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯等地研究數學。
遞推公式
通項公式
(如上，又稱爲“比內公式”，是用無理數表示有理數的一個範例。)
注：此時
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通項公式推導
方法一：利用特徵方程（線性代數解法）
設常數
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，
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.
使得
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則
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，
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……
聯立以上n-2個式子，得：
∵
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，
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上式可化簡得：
那麼
……
則
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已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求數列{an}的通項公式。
解 ：設an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。
得α+β=1。
αβ=-1。
構造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。
所以。
an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。
an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。
由式1，式2，可得。
an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。
an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。
將式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化簡得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。
方法四：母函數法。
對於斐波那契數列{a(n)}，有a(1)=a(2)=1,a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>2時)
令S(x)=a(1)x+a(2)x^2+……+a(n)x^n+……。
那麼有S(x)*(1-x-x^2)=a(1)x+[a(2)-a(1)]x^2+……+[a(n)-a(n-1)-a(n-2)]x^n+……=x
.因此S(x)=x/(1-x-x^2).
不難證明1-x-x^2=-[x+(1+√5)/2][x+(1-√5)/2]=[1-(1-√5)/2*x][1-(1+√5)/2*x].
因此S(x)=(1/√5)*{x/[1-(1+√5)/2*x]-x/[1-(1-√5)/2*x]}.
再利用展開式1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……+x^n+……
於是就可以得S(x)=b(1)x+b(2)x^2+……+b(n)x^n+……
其中b(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}.
因此可以得到a(n)=b(n)==(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
關係
有趣的是，這樣一個完全是自然數的數列，通項公式卻是用無理數來表達的。而且當n趨向於無窮大時，前一項與後一項的比值越來越逼近黃金分割0.618（或者說後一項與前一項的比值小數部分越來越逼近0.618）。
1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666...，3÷5=0.6，5÷8=0.625…………，55÷89=0.617977……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…...
越到後面，這些比值越接近黃金比.
證明
a[n+2]=a[n+1]+a[n]。
兩邊同時除以a[n+1]得到：
a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。
若a[n+1]/a[n]的極限存在，設其極限爲x，
則lim[n->；；∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->；；∞](a[n+1]/a[n])=x。
所以x=1+1/x。
即x²=x+1。
所以極限是黃金分割比..
平方與前後項
如：第二項1的平方比它的前一項1和它的後一項2的積2少1，第三項2的平方比它的前一項1和它的後一項3的積3多1。
證明經計算可得：[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)
與集合子集
奇數項求和
偶數項求和
平方求和
隔項關係
f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1，且n≥1]
兩倍項關係
f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)
其他公式
生活斐波那契
斐波那契數列中的斐波那契數會經常出現在我們的眼前——比如松果、鳳梨、樹葉的排列、某些花朵的花瓣數（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越數e（可以推出更多），黃金矩形、黃金分割、等角螺線，十二平均律等。
斐波那契數與植物花瓣3………………………百合和蝴蝶花
5………………………藍花耬鬥菜、金鳳花、飛燕草、毛茛花
8………………………翠雀花
13………………………金盞和玫瑰
21………………………紫宛
34、55、89……………雛菊
斐波那契數還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發現。例如，在樹木的枝幹上選一片葉子，記其爲數0，然後依序點數葉子（假定沒有折損），直到到達與那些葉
子正對的位置，則其間的葉子數多半是斐波那契數。葉子從一個位置到達下一個正對的位置稱爲一個循回。葉子在一個循回中旋轉的圈數也是斐波那契數。在一個循回中葉子數與葉子旋轉圈數的比稱爲葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數的葉序比呈現爲斐波那契數的比。
黃金分割
隨着數列項數的增加，前一項與後一項之比越來越逼近黃金分割的數值0.6180339887..…
楊輝三角
將楊輝三角左對齊，成如圖所示排列，將同一斜行的數加起來，即得一數列1、1、2、3、5、8、……
公式表示如下：
f⑴=C(0,0)=1。
f⑵=C(1,0)=1。
f⑶=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。
f⑷=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。
f⑸=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。
f⑹=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。
F⑺=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。
……
F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m)
質數數量
斐波那契數列的整除性與素數生成性
每3個連續的數中有且只有一個被2整除，
每4個連續的數中有且只有一個被3整除，
每5個連續的數中有且只有一個被5整除，每6個連續的數中有且只有一個被8整除，
每7個連續的數中有且只有一個被13整除，
每8個連續的數中有且只有一個被21整除，
每9個連續的數中有且只有一個被34整除，
.......
我們看到第5、7、11、13、17、23位分別是素數：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）
斐波那契數列的素數無限多嗎？
尾數循環
斐波那契數列的個位數：一個60步的循環
11235,83145,94370,77415,61785.38190,
99875,27965,16730,33695,49325,72910…
自然界中“巧合”
斐波那契數列在自然科學的其他分支，有許多應用。例如，樹木的生長，由於新生的枝條，往往需要一段“休息”時間，供自身生長，而後才能萌發新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以後長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發；此後，老枝與“休息”過一年的枝同時萌發，當年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個年份的枝椏數，便構成斐波那契數列。這個規律，就是生物學上著名的“魯德維格定律”。
另外，觀察延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬鬥菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以發現它們花瓣數目具有斐波那契數：3、5、8、13、21、……
其中百合花花瓣數目爲3，梅花5瓣，飛燕草8瓣，萬壽菊13瓣，向日葵21或34瓣，雛菊有34,55和89三個數目的花瓣。
斐波那契螺旋：具有13條順時針旋轉和21條逆時針旋轉的螺旋的薊的頭部
這些植物懂得斐波那契數列嗎？應該並非如此，它們只是按照自然的規律才進化成這樣。這似乎是植物排列種子的“優化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當，不至於在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。葉子的生長方式也是如此，對於許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長出來，爲了在生長的過程中一直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長出來，而不是一下子同時出現的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應該是222.5度，這個角度稱爲“黃金角度”，因爲它和整個圓周360度之比是黃金分割數0.618033989……的倒數，而這種生長方式就決定了斐波那契螺旋的產生。向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時能達到89，甚至144條。1992年，兩位法國科學家通過對花瓣形成過程的計算機仿真實驗，證實了在系統保持最低能量的狀態下，花朵會以斐波那契數列長出花瓣。[3]
數字謎題
三角形的三邊關係定理和斐波那契數列的一個聯繫：
現有長爲144cm的鐵絲，要截成n小段（n>2），每段的長度不小於1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，則n的最大值爲多少？
分析：由於形成三角形的充要條件是任何兩邊之和大於第三邊，因此不構成三角形的條件就是存在兩邊之和不超過另一邊。截成的鐵絲最小爲1，因此可以放2個1，第三條線段就是2（爲了使得n最大，因此要使剩下來的鐵絲儘可能長，因此每一條線段總是前面的相鄰2段之和），依次爲：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各數之和爲143，與144相差1，因此可以取最後一段爲56，這時n達到最大爲10。
我們看到，“每段的長度不小於1”這個條件起了控制全局的作用，正是這個最小數1產生了斐波那契數列，如果把1換成其他數，遞推關係保留了，但這個數列消失了。這裏，三角形的三邊關係定理和斐波那契數列發生了一個聯繫。
在這個問題中，144>143，這個143是斐波那契數列的前n項和，我們是把144超出143的部分加到最後的一個數上去，如果加到其他數上，就有3條線段可以構成三角形了。
影視作品中的斐波那契數列
斐波那契數列在歐美可謂是盡人皆知，於是在電影這種通俗藝術中也時常出現，比如在風靡一時的《達芬奇密碼》裏它就作爲一個重要的符號和情節線索出現，在《魔法玩具城》裏又是在店主招聘會計時隨口問的問題。可見此數列就像黃金分割一樣流行。可是雖說叫得上名，多數人也就背過前幾個數，並沒有深入理解研究。在電視劇中也出現斐波那契數列，比如：日劇《考試之神》第五回，義嗣做全國模擬考試題中的最後一道數學題~在FOX熱播美劇《Fringe》中更是無數次引用，甚至作爲全劇宣傳海報的設計元素之一。
斐波那契—盧卡斯數列
盧卡斯數列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契數列同樣的性質。（我們可稱之爲斐波那契—盧卡斯遞推：從第三項開始，每一項都等於前兩項之和f(n) = f(n-1)+ f(n-2）。
盧卡斯數列的通項公式爲 f(n)=[(1+√5）/2]^n+[(1-√5)/2]^n
這兩個數列還有一種特殊的聯繫（如下表所示），F（n）*L（n）=F(2n），及L（n）=F（n-1)+F(n+1)
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n
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1
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2
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3
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4
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5
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7
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8
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9
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10
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…
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斐波那契數列F(n)
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1
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2
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3
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5
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13
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21
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34
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55
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…
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盧卡斯數列L(n)
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1
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3
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4
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7
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11
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18
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29
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47
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76
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123
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…
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F(n)*L(n)
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1
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3
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8
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21
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55
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144
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377
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987
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2584
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6765
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…
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類似的數列還有無限多個，我們稱之爲斐波那契—盧卡斯數列。
如1，4，5，9，14，23…，因爲1，4開頭，可記作F[1，4]，斐波那契數列就是F[1，1]，盧卡斯數列就是F[1，3]，斐波那契—盧卡斯數列就是F[a，b]。
斐波那契—盧卡斯數列之間的廣泛聯繫
①任意兩個或兩個以上斐波那契—盧卡斯數列之和或差仍然是斐波那契—盧卡斯數列。
如：F[1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n，F[1,4]n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1](n-1），
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n
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3
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4
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…
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F[1,4]n
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4
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5
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9
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14
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23
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37
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60
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97
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157
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…
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F[1,3]n
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1
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3
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18
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29
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47
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…
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F[1,4]n-F[1,3]n
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…
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F[1,4]n+F[1,3]n
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41
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66
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107
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173
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280
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…
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②任何一個斐波那契—盧卡斯數列都可以由斐波那契數列的有限項之和獲得，如
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n
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1
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2
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F[1,1](n)
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…
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F[1,1](n-1)
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F[1,1](n-1)
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13
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F[1,3]n
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4
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7
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11
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47
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…
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黃金特徵與孿生斐波那契—盧卡斯數列
斐波那契—盧卡斯數列的另一個共同性質：中間項的平方數與前後兩項之積的差的絕對值是一個恆值，
斐波那契數列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-5*13|=…=1
盧卡斯數列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5
F[1，4]數列：|4*4-1*5|=11
F[2，5]數列：|5*5-2*7|=11
F[2，7]數列：|7*7-2*9|=31
斐波那契數列這個值是1最小，也就是前後項之比接近黃金比例最快，我們稱爲黃金特徵，黃金特徵1的數列只有斐波那契數列，是獨生數列。盧卡斯數列的黃金特徵是5，也是獨生數列。前兩項互質的獨生數列只有斐波那契數列和盧卡斯數列這兩個數列。
而F[1，4]與F[2，5]的黃金特徵都是11，是孿生數列。F[2，7]也有孿生數列：F[3，8]。其他前兩項互質的斐波那契—盧卡斯數列都是孿生數列，稱爲孿生斐波那契—盧卡斯數列。
廣義斐波那契數列
斐波那契數列的黃金特徵1，還讓我們聯想到佩爾數列：1，2，5，12，29，…，也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1（該類數列的這種特徵值稱爲勾股特徵）。
佩爾數列Pn的遞推規則：P1=1，P2=2，Pn=P(n-2)+2P(n-1).
據此類推到所有根據前兩項導出第三項的通用規則：f(n) = f(n-1) * p + f(n-2) * q，稱爲廣義斐波那契數列。
當p=1，q=1時，我們得到斐波那契—盧卡斯數列。
當p=1，q=2時，我們得到佩爾—勾股弦數（跟邊長爲整數的直角三角形有關的數列集合）。
當p=2，q=-1時，我們得到等差數列。其中f1=1，f2=2時，我們得到自然數列1，2，3，4…。自然數列的特徵就是每個數的平方與前後兩數之積的差爲1（等差數列的這種差值稱爲自然特徵）。
具有類似黃金特徵、勾股特徵、自然特徵的廣義——斐波那契數列p=±1。
當f1=1，f2=2，p=2，q=0時，我們得到等比數列1，2，4，8，16……
排列組合
有一段樓梯有10級臺階，規定每一步只能跨一級或兩級，要登上第10級臺階有幾種不同的走法?
這就是一個斐波那契數列：登上第一級臺階有一種登法；登上兩級臺階，有兩種登法；登上三級臺階，有三種登法；登上四級臺階，有五種登法……
1，2，3，5，8，13……所以，登上十級，有89種走法。
類似的，一枚均勻的硬幣擲10次，問不連續出現正面的可能情形有多少種？
答案是（1/√5)*{[(1+√5)/2]^(10+2) - [(1-√5)/2]^(10+2)}=144種。
求遞推數列a⑴=1，a(n+1)=1+1/a(n）的通項公式
由數學歸納法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n），將斐波那契數列的通項式代入，化簡就得結果。
兔子繁殖問題
一般而言，兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔子都不死，那麼一年以後可以繁殖多少對兔子？
我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：
第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對
兩個月後，生下一對小兔對數共有兩對
三個月以後，老兔子又生下一對，因爲小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對
－－－－－－
依次類推可以列出下表：
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經過月數
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0
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1
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2
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3
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4
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5
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7
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8
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9
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10
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11
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12
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幼仔對數
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1
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0
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成兔對數
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0
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1
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1
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2
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3
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8
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13
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21
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34
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55
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89
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144
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總體對數
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1
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1
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2
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3
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5
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8
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13
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21
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34
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55
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89
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144
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233
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幼仔對數=前月成兔對數
成兔對數=前月成兔對數+前月幼仔對數
總體對數=本月成兔對數+本月幼仔對數
可以看出幼仔對數、成兔對數、總體對數都構成了一個數列。這個數列有關十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構成了後一項。
這個數列是意大利中世紀數學家斐波那契在<算盤全書>中提出的，這個級數的通項公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1）的性質外，還可以證明通項公式爲：an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3.....）
數列與矩陣
對於斐波那契數列1、1、2、3、5、8、13、……。有如下定義
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(1)=1
F(2)=1
對於以下矩陣乘法
F(n+1) = 11 F(n)
F(n) 10 F(n-1)
它的運算就是右邊的矩陣 11乘以矩陣 F(n) 得到：
10 F(n-1)
F(n+1)=F(n)+F(n-1)
F(n)=F(n)
可見該矩陣的乘法完全符合斐波那契數列的定義
設矩陣A=1 1 迭代n次可以得到：F(n+1) =A^(n) * F(1)= A^(n)*1
1 0 F(n) F(0) 0
這就是斐波那契數列的矩陣乘法定義。
另矩陣乘法的一個運算法則A^n(n爲偶數) = A^(n/2)* A^(n/2)，這樣我們通過二分的思想，可以實現對數複雜度的矩陣相乘。
因此可以用遞歸的方法求得答案。
數列值的另一種求法：
F(n) = [ (( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) ^ n ]
其中[ x ]表示取距離 x 最近的整數。
斐波那契弧線，也稱爲斐波那契扇形線。第一，此趨勢線以二個端點爲準而畫出，例如，最低點反向到最高點線上的兩個點。然後通過第二點畫出一條“無形的（看不見的）”垂直線。然後，從第一個點畫出第三條趨勢線：38.2%， 50%和61.8%的無形垂直線交叉。
斐波納契弧線，是潛在的支持點和阻力點水平價格。斐波納契弧線和斐波納契扇形線常常在圖表裏同時繪畫出。支持點和阻力點就是由這些線的交匯點得出。
要注意的是弧線的交叉點和價格曲線會根據圖表數值範圍而改變，因爲弧線是圓周的一部分，它的形成總是一樣的。
詞條圖冊