隨機數字生成器（RNG）和Hash函數組合武器背後的黑暗祕密

　　本文主要的參考文獻爲：
1. 遊戲編程中的數學——隨機數字生成（RNG）的黑暗祕密
2. A Primer on Repeatable Random Numbers

　　文章題目之所以叫“黑暗祕密”，只是我覺得這個名字比較酷=。=然而並沒有涉及到太多背後的數學原理，只是對其分佈作了一些有趣的實驗~
　　進入正題，在遊戲編程當中，總是會不可避免地用上隨機數生成器（簡稱RNG,Random Number Generators ）。但是，RNG 這東西可不是隨便用的，你需要根據實際應用的場景進行一些合理的選擇。比方說，隨機數是否允許重複？
　　我相信，絕大多數情況下我們是不希望生成的隨機數出現重複的，比方說，在一些消除類遊戲當中，

開心消消樂遊戲截圖

　　出現的遊戲方塊都是利用隨機數產生的，然而開發者並不希望遊戲出現太多重複的遊戲方塊，這樣會影響開發者預期的玩家得分流程，甚至出現bug 。總的來說，什麼場景下我們不希望重複隨機數的出現？最主要的一點便是：

• 不希望玩家能夠重新審視同一世界。例如，在一些沙盒遊戲當中，當你從特定的種子創建出某個世界時， 如果再次使用了相同的種子，則會再次獲得相同的世界。

　　我們提到了“種子”這個概念。一般來說，種子可以是int、string 類型的數據，也可以是其它類型的數據，以此作爲輸入獲得一個隨機的輸出。種子最大的特點便是：相同的種子會得到相同的隨機數序列，但當種子發生輕微變化時，得到的隨機數序列便與原來的相比大相徑庭。
　　在本文中，我將研究兩種不同方法產生的隨機數分佈：隨機數生成器RNG 和Hash 函數，並嘗試將其結合起來。其中，利用C# 產生數據，利用Matlab 繪製圖形。具體代碼可以參見我的Github 項目：RNG 與Hash 函數相關代碼。

RNG

　　產生隨機數最常用的方法便是使用隨機數生成器（簡稱RNG ）。 許多編程語言（如本文使用的C# ）都提供了隨機數的生成方法。
　　隨機數生成器根據初始種子產生一系列隨機數。 在許多面向對象的語言中，隨機數生成器通常是一個經種子初始化的對象，然後可以重複調用該對象的方法來產生隨機數。

　　在這種情況下，我們可以利用C# 的Random 類提供的Next() 方法得到0~1000000之間的隨機整數值。之所以選擇1000000作爲最大值，主要是爲了圖形繪製的方便，後面可以看到，我會將每一個隨機數映射到一個邊長爲100單位的立方體上的某個格點上。
　　如下所示的圖像，包含由種子0生成的100000個隨機數。其中，每個隨機數表示一個立方體上的一個位置，以行序爲主。立方體每一個格點的像素值範圍爲(0,0,0)→(1,1,1)，初始RGB 值爲(0,0,0)，每當有一個隨機數落在該處時，該處像素點的R、G、B 三個通道值均會自增0.1，直到達到1爲止。

　　這裏需要注意的是如果沒有第一個和第二個隨機數，你就不能得到第三個隨機數。 就其性質而言，RNG 使用先前的隨機數產生每個隨機數作爲計算的一部分。 因此我們研究RNG ，研究的對象都應該是一個隨機序列。

　　這樣一來，使用RNG 就會有一個明顯的缺點：如果你僅需要一個特定的隨機數（比如序列中的第100個隨機數），那麼你就需要調用Next() 方法26次，並使用最後一個數字，但這是非常不方便的。

爲什麼你需要序列中的特定隨機數？

　　如果你一次性生成所有的東西，你可能不需要一個序列中的特定隨機數。然而存在這樣一種情形：
　　假設你的世界中有三個部分：A,B 和C 。其中A 部分使用0號種子生成的隨機數序列前100個隨機數生成。然後玩家進入B 部分，使用第101-200個隨機數生成。此時部分A 被銷燬以釋放內存。最後玩家進入C 區，使用第201-300個隨機數生成。同樣地，部分B 被銷燬。
　　然而，如果玩家現在又回到B 部分，那麼爲了使部分B 看起來不變，應該使用與第一次相同的100個隨機數生成。然而因爲A 已經被銷燬，所以我們無法直接得到第101-200個隨機數，需要利用0號種子重新生成整個隨機數序列。

不能只使用具有不同種子值的隨機數生成器嗎？

　　需要澄清的是，這是對於RNG 的一個非常常見的誤解。 事實是，儘管同一序列中的不同隨機數字可以說是相互獨立的，但是來自不同隨機序列的相同索引的數字彼此之間並不是獨立的，它們之間可能呈現某種分佈。

　　所以如果你有100個序列，並從每個序列中取出第i(i≥1) 個隨機數數，那麼這100個隨機數就不會是相互獨立的隨機數。 它們之間可能會服從某種分佈。
　　不妨做一下實驗看看~我將0到99999這100000個數字作爲RNG 的種子，得到100000個隨機序列，分別取每一個隨機序列的第一個隨機數將其映射到一個邊長爲100單位的立方體上，如下圖所示：

　　顯然此時的模式分佈已經不再均勻，相反呈現出一個直線族！如果分佈已知，那還不如直接用一個線性函數去進行隨機數的生成23333……
　　顯然，這樣一種使用具有不同種子值的隨機數生成器的操作是不大可行的。最起碼，我們也應該保證輸出在肉眼上看起來是隨機的，因爲玩家通常不會認真跟你去計算具體的隨機數分佈……想象一下，如果你通過上述操作生成隨機數創建座標，用於在一塊平地上種植樹木。現在，所有的樹木都被被排成一條直線，其餘的平地部分都是空的！相信這會是一件十分尷尬的事囧。
　　爲了解決這個問題，我覺得我們有必要引入哈希函數。

Hash 函數

　　通常，Hash 函數是將把原空間的一個數據集映射到像空間的一個函數。且像空間一般要比原空間更小，以方便處理。
　　與隨機數生成器RNG 不同，使用Hash 函數生成隨機數是不需要隨機序列的，即可以按任意順序得到隨機數，只要你提供了一個輸入~

　　Hash 函數的設計是非常講究的，其中核心的設計原則便是降低碰撞的概率，常用的做法便是降低card(X)card(X′) 的大小，其中X 是原空間，X′ 是像空間，card(X) 表示X 的勢，card(X′) 表示X′ 的勢，沒學過實變函數的沒關係=。=就理解爲集合的數量即可。顯然，當card(X)=card(X′) 的時候我們可以實現無碰撞。
　　有一篇文章對於哈希表的數學原理是講得十分透徹的，有興趣的同學可以看看：哈希表之數學原理。
　　偷懶了一下，我僅僅測試了兩種十分經典的Hash 函數：MD5 與SHA1 函數。

• MD5 ：這可能是最著名的Hash 函數之一了。 在生成隨機數時，我們通常只需要一個32位int 值作爲返回值，而MD5 會返回一個更大的散列值，其中大部分我們只是扔掉。儘管如此，我覺得MD5 還是值得測試一波的。
• SHA1 ：這也是一個十分經典的Hash 函數，通常返回20字節（160位）的數據摘要。由於它產生的數據摘要的長度更長，因此更難以發生碰撞，因此也更爲安全，但也因此在一定程度上降低了它的運算速度。

　　我將0到99999這100000個數字分別作爲MD5 與SHA1 函數的輸入，得到100000個隨機數，依舊是將其映射到一個邊長爲100單位的立方體上。如下兩圖是MD5 與SHA1 函數的測試結果：

MD5 測試結果

SHA1 測試結果

　　容易看出，MD5 函數生成的數字具有良好的隨機性，而SHA1 函數生成的數字卻再次呈現出一個直線族的分佈！！！總能與直線扯上關係，細思極恐……相信背後一定有深刻的數學原理，若有時間，會再深入研究一波~
　　然而，這並不能說明SHA1 函數不適用於隨機數的生成。因爲在實際操作當中，每生成一個隨機數就得調用一次Hash 函數，這太消耗性能了。。。我們不妨將RNG 與Hash 函數結合起來，這便有了下面的討論。

RNG 與Hash 函數的合體

　　RNG 與Hash 函數也可以結合使用。 我們前面已經說到，一個明智的方法是使用不同種子的隨機數生成器，但爲了使輸出結果在肉眼上看起來儘可能地隨機，種子（例如在創建迷宮世界時，種子可以是迷宮位置座標）必須首先通過Hash 函數的處理而非直接使用，否則會使輸出結果呈現出直線族分佈。

　　再做一波實驗，分別測試一下經MD5 函數和SHA1 函數處理的隨機數生成器效果，如下兩圖所示：

經MD5 函數處理的隨機數生成器效果

經SHA1 函數處理的隨機數生成器效果

　　可以看出，使用經MD5 函數和SHA1 函數處理的隨機數生成器進行隨機數的生成時，隨機數的分佈已經能夠呈現出不錯的隨機性，這是滿足我們的預期目標的。

總結

　　總而言之，如果你需要一堆隨機數，最簡單的方法就是使用隨機數生成器（RNG ），例如C＃ 中的System.Random 類。 爲了使所有的隨機數相互之間是隨機的，要麼只使用一個隨機序列（即用一個種子初始化，但是當需要序列中的特定隨機數時它便顯得不是很方便，具體原因文中已經解釋），要麼使用多個種子，但是在使用這堆種子之前需要先通過一個Hash 函數進行處理。個人還是比較推薦第二種方法的~