跳錶：一種平衡樹的概率性替代品

跳錶是一種可以替代平衡樹的數據結構。跳錶追求的是概率性平衡，而不是嚴格平衡。因此，跟平衡二叉樹相比，跳錶的插入和刪除操作要簡單得多，執行也更快。

二叉樹可以用來實現字典和有序表等抽象數據結構。在元素隨機插入的場景，二叉樹可以很好應對。然而，在有序插入的情況下，二叉樹就退化了(鏈表)，性能非常差。如果有辦法對待插入元素進行隨機排列，二叉樹大概率可以運行良好。大部分情況下，插入是在線進行的，因此隨機排列並不具有可行性。平衡樹在操作時對樹結構進行調整以滿足平衡條件，因此獲得理想性能。

跳錶是一種概率性可行的平衡二叉樹替代數據結構。跳錶通過一個隨機數生成器實現平衡。雖然跳錶最壞情況下(worst-case)性能也很差，但是沒有任何輸入序列必然會導致最壞情況發生(這點類似劃分元素(pivot point)隨機選定的快排)。跳錶極度不平衡發生的概率非常低(一個包含250個元素的字典，一次查找需要花3倍期望時間的概率小於百萬分之一)。跳錶平衡概率跟隨機插入的二叉樹差不多，好處是插入順序不要求隨機。

實現概率性平衡比嚴格控制平衡要簡單得多。對很多應用來說，跳錶用起來比平衡樹更自然，而且算法更簡單。跳錶算法簡單性意味着更容易實現，而且與平衡樹和自適應樹相比有常數倍數的性能提升。跳錶在空間上也比較高效。平均每個元素只需要額外耗費個2指針(甚至可以配置得更低)，並不需要在每個節點上都存與平衡和優先級相關的數據。

結構

搜索一個鏈表時，我們需要遍歷每個節點(如圖 1a)。如果列表是有序的，偶數節點另存一個指向下一個偶數節點的指針(如圖 1b)，我們只需要檢查最多(n/2)+1個節點(n是鏈表規模)。如果序號爲4的倍數的節點都有一個往前跳4步的節點，那麼最多只需要檢查(n/4)+2次。如果，序號爲2^i的節點有一個向前跳2^i步的指針，那麼則需要檢查log2 n次了！這種數據結構可以用來做快速搜索，但是插入和刪除並沒有可行性。

有k個前進指針的節點成爲k層節點。如果第2^i個節點有一個向前跳2^i步的指針，那麼每層節點數滿足以下關係：第1層有50%的節點；第2層有25%的節點；第3層有12.5%的節點；以此類推。假設每層的比例還是一樣，但是節點隨機選擇，會怎樣呢(圖 1e)？節點第i個前進指針不嚴格跳2^i步，而是可以跳任意步。由於不需要維持特殊條件，插入節點層數隨機生成，插入和刪除只需要做局部修改。極端情況下，有些層次分佈會導致極差的性能，不過接下來我們會看到這種情況非常罕見。這種數據結構在鏈表的基礎上加上額外指針以跳過一些中間節點，因此命名爲跳錶。

算法

這小節介紹用於搜索、插入、刪除的算法。搜索操作返回與給定鍵(key)關聯的值(value)，鍵不存在時則失敗。插入操作將給定鍵關聯到新的值，如果鍵不存在則插入新的節點。刪除操作刪除給定鍵。另外，類似最小鍵和下一鍵這類操作實現起來也非常簡單。

每個元素由一個節點表示，層次由節點在插入時隨機選定，與已有元素無關。層次爲i的節點擁有i個前進指針，下標分別是1至i。節點不需要存儲層數。選定一個合適的常量MaxLevel，層數在這個範圍內。跳錶的層數時當前所有節點層數的最大值，或者當跳錶爲空是，層數爲1。用一個頭向量存儲從層次1到MaxLevel的向前指針。指針高於當前跳錶層數的部分直接指向NIL。

初始化

約定NIL元素，其鍵比所有合法建都大(上限)。跳錶的任意層都以NIL結尾。新的跳錶初始化成層數只有1，並且所有表頭所有前進指針都指向NIL。

查找

查找某個元素時，需要逐層遍歷所有鍵不超過給定鍵的節點。如果當前層前進節點已經不符合條件了，往下一層開始遍歷。當遍歷進行到第1層時，下一個節點就是目標節點(如存在)。

Search(list, searchKey)
    x := list->header

    for i := list->level downto 1 do
        while x->forward[i]->key < searchKey do
            x = x->forward[i]

    x := x->forward[1]

    if x->key = searchKey
    then
        return x->value
    else
        return failure

插入/刪除

插入或者刪除節點，只需先執行搜索操作(圖 3)，然後視情況重新拼接。僞代碼如下所示：

Insert(list, searchKey, newValue)
    local update[1..MaxLevel]
    x := list-header

    for i := list->level downto 1 do
        while x->forward[i]->key < searchKey do
            x := x->forward[i]
        update[i] := x

    x := x->forward[i]

    if x->key = searchKey then
        x->value := newValue
    else
        lvl := randomLevel()
        if lvl > list->level then
            for i := list->level+1 to lvl do
                update[i] := list->header
            list->level = lvl
        x := makeNode(lvl, searchKey, value)
        for i := 1 to lvl do
            x->forward[i] = update[i]->forward[i]
            update[i]->forward[i] := x

圖3展示了搜索過程。注意到，搜索的過程中維護了一個名爲update的向量，在每次降層搜索時更新。搜索完成後，update剛好記錄了各層在操作位置(圖中環)左邊最近的節點：

元素	節點
update[1]	12
update[2]	9
update[3]	6
update[4]	6

如果插入時生成了一個比當前最大層更大的層數，則需要更新跳錶層數並且初始化update向量對應部分。

接下來，看看刪除操作的僞代碼：

Delete(list, searchKey)
    local update[1..MaxLevel]
    x := list-header

    for i := list->level downto 1 do
        while x->forward[i]->key < searchKey do
            x := x->forward[i]
        update[i] := x

    x := x->forward[i]

    if x->key < searchKey then
        for i := 1 to list->level do
            if update[i]->forward[i] != x then break
            update[i]->forward[i] = x->forward[i]

        free(x)

        while list->level > 1 and list->header->forward[list->level] = NIL do
            list->level := list->level - 1

在每次刪除時，需要檢查被刪除節點是否是最大層節點。如果是，需要對跳錶層數做對應調整。

隨機函數

接下來，需啊確定一個隨機數生成函數，其概率分佈使得第i層中有50%的節點同時數據第i+1層。先拋開具體數值，我們在討論一個分數p，對於有i層指針的節點中p部分，同時擁有i+1層指針。以下便是一個非常理想的隨機數生成函數，隨機層數生成與跳錶元素及規模無關：

randomLevel()
    lvl := 1
    while random() < p and lvl < MaxLevel do
        lvl := lvl + 1
    return lvl