區間最值的問題

對於數組A[i] ，現要求下標l 到 r 的最值。
這是很常見的題目。
其解決方法也有很多，這兩天重新學習了一下，終於更明白了。

方法之一：
樸素算法（搜索）：也就是一個一個看。。。。
對於某一次求複雜度最大爲O(N) q 次的話那就是O（qN）了
好大。。

//對於minn同理
int maxn=-inf;
for(int i=l ;i<=r ;i++)
{
  if(maxn<a[i])maxn = a[i];
}
printf("%d",maxn);

方法二：線段樹
時間複雜度O（qlogn） 額還好
用線段樹來解決區間最值問題是很經典的 就不多贅述了

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
const int maxn = 10000;
int MAX[maxn<<2];

void PushUP(int rt) {
    MAX[rt] = max(MAX[rt<<1] , MAX[rt<<1|1]);
}
void build(int l,int r,int rt) {
    if (l == r) {
        scanf("%d",&MAX[rt]);
        return ;
    }
    int m = (l + r) >> 1;
    build(lson);
    build(rson);
    PushUP(rt);
}
int query(int L,int R,int l,int r,int rt) {
    if (L <= l && r <= R) {
        return MAX[rt];
    }
    int m = (l + r) >> 1;
    int ret = 0;
    if (L <= m) ret = max(ret , query(L , R , lson));
    if (R > m) ret = max(ret , query(L , R , rson));
    return ret;
}

int main(){
 int n,m;
 scanf("%d%d",&n,&m); // n 是長度    m是查詢次數 
 build(1, n, 1);
 while(m--){
   int a,b;
   scanf("%d%d",&a,&b);
   printf("%d\n",query(a , b , 1 , n , 1)); 
 }
 return 0;
}

方法三：
RMQ 之ST 算法
O(nlogn)時間內進行預處理，然後在O(1)時間內回答每個查詢。
實質上這是一個動態規劃

F[1，0]表示第1個數起，長度爲2^0=1的最大值
f[i][j] 從 i 長度爲2^j 即 1<

void rmqst(int n){
  for(int j=1;j<=20 ;j++)     //注意順序!!!!!
    for(int i=1 ;i<=n ;i++)
  {if((i+(1<<j)-1) <=n)
     {
       maxsum[i][j] = max(maxsum[i][j - 1], maxsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);  //最大
       minsum[i][j] = min(minsum[i][j - 1], minsum[i + (1 << (j - 1))][j - 1]); //最小
     }
  }  
}

先更新所有長度爲F[i,0]即1個元素，然後通過2個1個元素的最值，
獲得所有長度爲F[i,1]即2個元素的最值，然後再通過2個2個元素的最值，獲得所有長度爲
F[i,2]即4個元素的最值，以此類推更新所有長度的最值。

然後查詢

對於區間爲【i,j】
最值maxn = max(maxsum[l,k], maxsum[r-2^k+1,k])

k是滿足2^k<=r-l+1(即長度)的最大的k,即（int）k=(b-a+1)/log（2.0）。

int maxx,minn;
int k = (int)((log(r-l+1))/log(2.0));
   maxx = max(maxsum[l][k] , maxsum[r - (1<<k) +1][k]); 
   minn = min(maxsum[l][k] , maxsum[r - (1<<k) +1][k]); 

我覺得其實上面的方法就夠了

下面這個感覺都好麻煩，沒用過。。。。
方法四：
先規約成LCA（Lowest Common Ancestor），再規約成約束RMQ。
首先根據原數列，建立笛卡爾樹，從而將問題在線性時間內規約爲LCA問題。LCA問題可以在線性時間內規約爲約束RMQ，也就是數列中任意兩個相鄰的數的差都是+1或-1的RMQ問題。