《線性代數及其應用》前言翻譯

線性代數及其應用

第四版

Gilbert Strang

前言

對於這本教材的修訂一直以來都是一個特別的挑戰，即使是由於一個很好的原因：很多的人讀過這本書，將它當作教材來用甚至愛上了它。這本書的靈魂永遠不會改變。之所以修訂是爲了幫助線性代數的教學能夠跟上這門學科不斷增加的巨大的重要性。

增加新的問題是可能的且必要的。這些年的教學要求大量的新的測試問題（特別是網頁上的測試問題）。我想你們會認同問題的擴展。這些問題依然是解釋和計算的結合體，這是兩種學習這個美妙學科的互補的方法。

我個人認爲需要線性代數的人比需要微積分的人要多。牛頓也許不贊成！但是他沒有在21世紀教數學（雖然他也許不是一個好老師，但是我們給他質疑的權利）。因爲物理學的定律可以很好地由微分方程表示，所以牛頓需要微積分。但是科學、工程和管理（以及生活）的領域現在已經更加的寬闊，從而線性代數佔據了核心的地位。

請允許我再多說一點，因爲多數大學還沒有把平衡向線性代數調整。處理曲線和曲面時，第一步總是線性化 (linearize)。將曲線替換爲它的切線，用平面擬合曲面，由此問題變爲了線性的。當你有10個變量，或者1000個變量，而不是2個變量時，這個學科的威力就展現了出來。

你也許覺得我用“美麗”這個詞來形容一個數學基礎課程有些誇大，但是一點也不。這個學科從兩個指向不同方向的向量v 和w 開始。關鍵的步驟是它們的線性組合。我們用數乘來得到3v 和4w ，並用加法來得到一個特定的組合3v+4w 。這個新得到的向量和v 與w 在同一個平面。當我們遍歷所有的組合，我們就把一整個平面填滿了。如果我在本頁中畫出v 和w ，它們的組合cv+dw 填滿了整頁紙（以及延伸平面），但是它們不會向外離開這頁紙。

用線性方程的術語來描述這個問題，方程cv+dw=b 有解當且僅當向量b 和向量v 與向量w 在同一平面。

矩陣

我再多講一點來把三維向量的組合擴展到線性代數。如果向量是v=(1,2,3) 和w=(1,3,4) ，把它們放到一個矩陣的列中：

matrix=⎡⎣⎢123134⎤⎦⎥

爲了找到這些列的組合，用向量(c,d) 來“乘”這個矩陣：

Linear combinationscv+dw⎡⎣⎢123134⎤⎦⎥[cd]=c⎡⎣⎢123⎤⎦⎥+d⎡⎣⎢134⎤⎦⎥

這些組合填滿了一個向量空間。我們叫這個空間是矩陣的列空間。（對於這兩列來說，空間是一個平面。）要確定b=(2,5,7 是否在這個平面上，我們有三個部分需要驗證。因此我們要解三個方程：

⎡⎣⎢123134⎤⎦⎥[cd]=⎡⎣⎢257⎤⎦⎥

即

c+d=22c+3d=53c+4d=7

我把這位問題的解決留給各位讀者。向量b=(2,5,7) 確實和向量v 與w 在同一個平面。如果把7換成其它的數字，這三個方程將會無解。

現在我可以說一下本書關於線性方程Ax=b 的第一部分。矩陣A 有n 列和m 行。線性代數把n 個向量轉移到了m 維空間。我們依然想把列組合起來（在列空間中）。我們依然要用m 個方程得到b （一行對應一個方程）。這些方程可能有解也可能無解。它們總有一個最小二乘解（least-squares solution）。

行和列的相互作用是線性代數的核心。這並不容易，但也不是太難。這裏有四個關鍵思路：

1. 列空間 （列的所有組合）
2. 行空間 （行的所有組合）
3. 秩 （不相關的列（或者行）的個數）
4. 消元 （一種找到矩陣的秩的好方法）

我不再往下講了，因此你可以開始上課了。

網頁

說一下和這本書有關的教材應該是有用的。有很多回復是建議和鼓勵，我希望諸位可以免費（自由？）地使用所有的東西。你可以直接訪問 http://web.mit.edu/18.06，這個網頁會跟着每個學期的教學而不斷更新。線性代數也在MIT的OpenCourseWare網站上：http://ocw.mit.edu，在這個網站上18.06是很獨特的，因爲它包含了上課視頻（絕對不是非看不可）。這是是一些網上的資源：

1. 課程安排和現在的作業和測試（含答案）。
2. 課程目標和概念性問題。
3. 可交互的JAVA示例（audio現在已經支持特徵值）。
4. 線性代數的教學代碼和MATLAB問題。
5. 所有課程的視頻（在一個教室中上的課）

課程頁面已經變成了一個到課堂的可用鏈接以及學生的一個資源。我對於有聲音的圖像的潛力很樂觀。聲音的帶寬很窄，FlashPlayer是免費可得的。這提供了一個快速的回顧（帶有活躍的實驗），並且所有的課程都可以下載。我希望全世界的教授和學生都能夠得到這些網頁的幫助。我的目標是儘量多地提供課程材料以使得此書儘可能地有用。

其它材料

學生解題手稿 0-485-01325-0 學生解題手稿提供了書中奇數號題目的答案。

老師解題手稿 0-030-10588-4 老師解題手稿包含每個章節和所有題目的教學注意點。

課程結構

方陣A 的兩個基本問題是Ax=b 和Ax=λx 。 第一個問題Ax=b 只有A 的列不相關時纔有解。第二個問題Ax=λx 是在找獨立特徵向量。本課程的一個重要的總要是學習“獨立”的意義。

我相信大多數人從例子中可以學習到第一個問題。你可以看到：

A=⎡⎣⎢111123234⎤⎦⎥does NOT have independent columns

第一列加第二列等於第三列。一個很好的定理說這三行也不是獨立的。第三行一定在前兩行的平面上。第一行和第二行的某個組合將得到第三行。你也許能很快地找到這個組合（我辦不到）。最後我不得不使用消元來找到正確的組合：2倍的行2減去1倍的行1。

消元是理解矩陣的一種簡單而又自然的方法，通過產生很多的0元素。因此課程從消元開始。但是別在這裏停留太久！你得從行的組合中，得到行的獨立，再到行空間的維數。這是一個重要的目標，以這個視角來看待整個向量空間：行空間，列空間和零空間。

一個更進一步的目標是理解矩陣如何運作。當A 乘以x 時，得到一個新的向量Ax .整個向量空間移動了——它被A “變換”了。一個特別的變換對應於一個特定的矩陣，這是線性代數的基石：對角矩陣，正交矩陣，三角矩陣，對稱矩陣。

這些矩陣的特徵值也是特殊的。我覺得2乘2的矩陣是很好的例子來展示特徵值λ 包含着什麼信息。5.1和5.2小節值得仔細地閱讀，以好好看看Ax=λx 是多麼的有用。這是一個小矩陣提供深入直覺的情形。

總之，可以從多個方面來看線性代數之美：

1. 可視化 向量的組合。向量空間。向量的旋轉、映射和投影。向量的垂直。四個基本的子空間。
2. 抽象性 向量的獨立。向量空間的基和維數。線性變換。奇異值分解和最佳基。
3. 計算 消元以產生零元素。克拉莫-斯密特算法來得到正交向量。特徵值解微分方程和差分方程。
4. 應用 當Ax=b 的方程數太多時的最小二乘解。用差分方程得到微分方程的近似解。馬爾可夫概率矩陣（Google的基礎！）。正交特徵向量作爲主軸（還有更多……）。

要想更多地瞭解這些應用，請允許我推薦Wellesley-Cambridge Press出版的書。它們都是以信號處理、偏微分方程和科學計算（甚至GPS）爲掩蓋的線性代數的書。如果你訪問http://www.wellesleycambridge.com，你將會看到線性代數的應用爲何如此廣泛的部分原因。

在此前言之後，本書會自己說出來。你會立刻看到線性代數的靈魂。重點是理解——我努力解釋而不是推論。這是一本真正的數學書，而不是無窮無盡的習題。在課堂上，我始終堅持用例子來教會學生他們需要的東西。

聲明

我享受寫此書的過程，並且也希望讀者享受閱讀它。樂趣中有很大一部分來自於和朋友一起工作。Brett Coonley, Cordula Robinson 和 Erin Maneri給了我極大的幫助。他們創建了LATEX 文件並且畫了所有的圖例。如果沒有Brett的支持我將無法完成這個新版本。

Steven Lee和Cleve Moler給我提供了關於教學代碼的更爲早期的幫助。它們在書中有描述。MATLAB和Maple和Mathematica對於大矩陣來說更快。它們都可以（可選的）用在本課程中。我可以添加“分解”到上面的列表中，作爲理解矩陣的第五種方法：

[L, U, P] = lu(A) 來解線性方程組
[Q, R] = qr(A) 來正交化列向量
[S, E] = eig(A) 來找矩陣的特徵向量和特徵值

在感謝時，我永遠不會忘記幾年前本書第一版的貢獻。這是一個爲了無私的禮物感謝我的父母的機會。他們是我生活的靈感。

也感謝各位讀者，希望你們能喜歡這本書。

Gilbert Strang