匹配問題
問題
一個屋子裏面有N個人，每個人有一頂帽子。假如所有人把帽子扔到屋子中央，然後每個人都隨機選一頂帽子。
a) 沒有人撿到自己帽子的概率；
b) 有k(k⩽N) 個人撿到自己帽子的概率。
解決方法一
問題a
先計算至少有一個人撿到自己帽子的概率。設Ei,i=1,2,…,N 表示事件第i個人撿到了他自己的帽子。現在，根據容斥原理，至少一個人撿到自己帽子的概率P(⋃i=1NEi) 就等於：
P(⋃i=1NEi)=∑i=1NP(Ei)−∑i1<i2P(Ei1Ei2)+…+(−1)n+1∑i1<i2⋯<inP(Ei1Ei2…Ein)+⋯+(−1)N+1P(E1E2…EN)
如果將實驗結果看作是一個N 維數組的話，其中第i 個元素表示被第i 個人撿到的帽子的編號，那麼有N! 種可能的結果(例如結果(1,2,3,…,N) 表示所有人都拿到了自己的帽子)。進一步的，Ei1Ei2…Ein 表示事件是i1,i2,…,in 這n 個人拿到了自己的帽子，這樣的可能有(N−n)(N−n−1)⋯3⋅2⋅1=(N−n)! 種，因爲剩下的N−n 個人中隨便選帽子。總共的可能結果是N! 種，因此：
P(Ei1Ei2⋯Ein)=(N−n)!N!
同時，對於
∑i1<i2<⋯<inP(Ei1Ei2…Ein) 總共有
(Nn) (即
CnN )種選法，因此：
∑i1<i2<⋯<inP(Ei1Ei2…Ein)=N!(N−n)!(N−n)!n!N!=1n!
因此，
P(⋃i=1NEi)=1−12!+13!−⋯+(−1)N+11N!
所以，沒有人撿到自己帽子的概率就是：
1−1+12!−13!+⋯+(−1)NN!
N 非常大時，此概率爲
e−1≈.36788 .也就是說，
N 很大時，沒有人撿到自己帽子的概率大約是.37，而不是很多人認爲的概率會趨向於1當
N→∞時
問題b
設E 表示事件k 人中每個人都拿到了自己的帽子，G 表示事件其它的N−k 個人中沒有人拿到自己的帽子。則：
P(EG)=P(E)P(G|E)
設
Fi,i=1,…,k ，表示事件第
i 個人拿到了自己的帽子。則：
P(E)====P(F1F2⋯Fk)P(F1)P(F2|F1)P(F3|F2F1)⋯P(Fk|F1⋯Fk−1)1N1N−11N−2⋯1N−k+1(N−k)!N!
已知k 人中的每個人都撿到了自己的帽子，其它的N−k 個人將隨機的在他們的N−k 個帽子中選擇，因此其它人中沒有人撿到自己帽子的概率是：
P(G|E)=PN−k=∑i=0N−k(−1)i/i!
因此，指定的
k 人撿到自己帽子而其它人沒有撿到自己帽子的概率是：
P(EG)=(N−k)!N!PN−k
因爲選擇
k 人有
(Nk) 種方法，因此，要求的概率就是：
P(只有k個人撿到自己帽子)=PN−k/k!≈e−1/k!當k很大時
解決方法二
問題a
設E 表示事件沒有匹配發生，此事件顯然與n 有關，記爲Pn=P(E) . 我們從第一個人是否選擇到了自己的帽子開始——分別記爲M 和MC 。則：
Pn=P(E)=P(E|M)P(M)+P(E|MC)P(MC)
顯然，
P(E|M)＝0 ，因此
Pn=P(E|MC)n−1n(1)
現在，
P(E|MC) 剩下
n−1 個人都沒有撿到自己帽子的概率(且其中一人的帽子不在這些帽子中，因爲已經被第一個人撿走了)。此事發生可由兩種獨立事件組成：那個人撿到了第一個人的帽子且其它人都沒有撿到自己的帽子，以及那個人撿到了除了第一個人和他自己的帽子以外的一頂帽子，且其它人都沒有撿到自己的帽子。前者的概率是
[1/(n−1)]Pn−2 ，由此可得：
P(E|MC)=Pn−1+1n−1Pn−2
因此，由式
(1) ，可以得到：
Pn=n−1nPn−1+1nPn−2
或者，等價地：
Pn−Pn−1=−1n(Pn−1−Pn−2)(2)
再由於
Pn 表示
n 個人中無匹配的概率，因此：
P1=0P2=12
由
(2) 式，得：
P3−P2=−P2−P13=−13!P4−P3=−P3−P24=−14!ororP3=12!−13!P4=12!−13!+14!
由此，一般地，
Pn=12!−13!+14!−⋯+(−1)nn!
問題b
爲了計算只有k 人得到自己帽子的概率，我們考慮一個確定的k 人組，有且只有此k 人撿到自己帽子的概率是：
1n1n−1⋯1n−(k−1)Pn−k=(n−k)!n!Pn−k
其中
Pn−l 表示其它
n−k 個人沒有撿到自己帽子的概率。總共有
(nk) 種選法，因此有且只有
k 個撿到自己帽子的概率是：
Pn−kk!=12!−13!+⋯+(−1)n−k(n−k)!k!
