写在前面
大家都知道的是，基于比较的排序算法的时间复杂度的下界是 O(n log(n))。这一结论是可以证明的，所以在基于比较的算法中是找不到时间复杂度为 O(n)的算法的。这时候，非基于比较的算法，如计数排序、基数排序和桶排序，是可以突破这个下界的。但是，非基于比较的排序的使用限制却是较多的，如计数排序仅能对较小整数进行排序，且要求排序的数据的规模不能过大；基数排序可以对长整数进行排序，但是不适用于浮点数；桶排序可以对浮点数进行排序。
关于时间复杂度的问题在后续将陆续阐明。
基于比较的排序算法可以参考几种常用的排序算法分析及实现。
计数排序
基本思想：计数排序要求数据的范围在0到k之间的整数，引入了一个辅助数组C，数组C的大小为k，存储了待排序数组中值小于等于C的索引值的个数。
1. 统计出待排序数组值为i的元素个数，存入辅助数组C的第i项中
2. 对C中的数据进行累加，每一项的值等于本项值加上前一项的值
3. 反向扫描待排序数组，每扫描一项m，将其存入新的数组的第C(m)项，对C(m)的值减一
具体过程
具体代码
/**
* 计数排序
*
* @param A
* 要排序的数组
* @param k
* 数组中最大的元素值
* @return
*/
public static int[] countingSort(int[] A, int k) {
int n = A.length;
int[] C = new int[k];
int[] B = new int[n];
int i;
for (i = 0; i < k; i++) { // 初始化辅助数组
C[i] = 0;
}
for (i = 0; i < n; i++) { // 计数数组A中值等于C数组下标的个数
C[A[i]]++;
}
for (i = 1; i < k; i++) { // 计数数组A中值小于等于C数组下标的个数
C[i] += C[i - 1];
}
for (i = n - 1; i >= 0; i--) {
B[C[A[i]] - 1] = A[i];
C[A[i]]--;
}
return B;
}
简要分析
- 计数排序仅适合于小范围的数据进行排序
- 不能对浮点数进行排序
- 时间复杂度为 O(n)
- 计数排序是稳定的（排序后值相同的元素相对于原先的位置是不会发生变化的）
基数排序
基本思想：基数排序是将整数按位进行排序，从低位开始，对每一位使用稳定的排序算法如计数排序进行排序，直到最高位排序完成，所有元素排序完成。
在这里需要注意的是，我实现的基数排序是需要传入整数数组中位数最长的元素的位数。否则在对每一位进行排序时，仅将每个整数的那一位均为零作为程序结束的标志，将会出现如果测试数据的第某一位全为零，则算法执行停止，出现错误。
具体过程
具体代码
/**
* 对A中的数据（即整数的某一位组成的数组）进行计数排序，然后将结果保存为已按照某一位排序的原始数据
*
* @param A
* 原始数据的某一位的数组
* @param k
* 每一位的范围，一般传入9（整数某位的大小至多为9）
* @param D
* 原始数据数组
* @return
*/
public static int[] countingSort_r(int[] A, int k, int[] D) {
int n = A.length;
int[] C = new int[k];
int[] B = new int[n];
int i;
for (i = 0; i < k; i++) { // 初始化辅助数组
C[i] = 0;
}
for (i = 0; i < n; i++) { // 计数数组A中值等于C数组下标的个数
C[A[i]]++;
}
for (i = 1; i < k; i++) { // 计数数组A中值小于等于C数组下标的个数
C[i] += C[i - 1];
}
for (i = n - 1; i >= 0; i--) {
B[C[A[i]] - 1] = D[i]; // 注意这里
C[A[i]]--;
}
return B;
}
/**
* 计数排序
*
* @param d
* 待排序的数组
*/
public static void radixSort(int[] d, int wordLength) {
int n = d.length;
int[] tmp = new int[n];
int base = 1;
while (wordLength != 0) {
base *= 10;
for (int i = 0; i < n; i++) { // 分离整数的数位
tmp[i] = d[i] % base;
tmp[i] /= base / 10;
}
int[] sorted = countingSort_r(tmp, 10, d); // 对每一位进行计数排序
for (int i = 0; i < n; i++) {
d[i] = sorted[i];
}
wordLength--;
}
}
简要分析
- 基数排序仅可排序整数
- 与计数排序不同的是，基数排序可以排序大整数
- 对每一位进行排序时，需要使用稳定的排序算法，保证在排序高位时低位的顺序不会变
- 时间复杂度为 O(n)
桶排序
基本思想：对于一组程度为N的待排序数据，将这些数据划分为M个区间（即放入M个桶中）。根据某种映射函数，将这N个数据放入M个桶中。然后对每个桶中的数据进行排序，最后依次输出，得到已排序数据。桶排序要求待排序的元素都属于一个固定的且有限的区间范围内。
对于映射函数的选取，在这里，假设数据都在[0,1)区间中，所以映射函数可以为 f(x) = x * 10。
具体过程
具体代码
/**
* 桶排序（要求待排数组元素的大小范围在[0，1)之间）
*
* @param d
* 待排序的数组
*/
public static void bucketSort(double[] d) {
int n = d.length;
double[][] bucket = new double[10][10]; // 用一个二维数组来表示桶
for (int i = 0; i < 10; i++) {
bucket[i] = new double[10];
}
int[] count = new int[10];
for (int i = 0; i < 10; i++) { // 将每个桶的元素个数初始化为零
count[i] = 0;
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
double tmp = d[i];
int index = (int) (tmp * 10); // 将数据元素的小数点后第一位作为桶的索引号
bucket[index][count[index]] = tmp;
int j = count[index]++;
while (j > 0 && tmp < bucket[index][j - 1]) // 对同一个桶内的元素进行插入排序
{
bucket[index][j] = bucket[index][j - 1];
j--;
}
bucket[index][j] = tmp;
}
int m = 0;
for (int i = 0; i < 10; i++) // 按序将桶内元素全部读出来
{
for (int j = 0; j < count[i]; j++) {
d[m] = bucket[i][j];
m++;
}
}
}
简要分析
- 桶排序对待排序数据的要求必须在某个指定的范围内
- 可以用来排序浮点数，与计数排序和基数排序不同
- 桶排序是稳定的
- 速度快，但是耗空间
小结
从整体上来看，这三种排序算法都对数据的要求较为严格，不如其他常用的基于比较的排序算法那样普遍通用。这也说明了如果可以充分的利用起数据的特性，可以使计数排序的时间复杂度依赖于数据的范围，桶排序还依赖于空间的大小和数据的分布情况，基数排序一般情况下是需要用到计数排序。