編程之美————24點遊戲算法

一，概述

        二十四點是一種益智遊戲，它能在遊戲中鍛鍊人們的心算，它往往要求人們將四個數字進行加減乘除（允許使用括號）求得二十四。然後將四個數字的計算公式表示出來。

二，中綴表達式求解

         最直接的方法就是採用窮舉法，遊戲中可用的運算符只有四種，四個數字每個只能使用一次。

         1）不考慮括號情況

                4個數全排列：4！=24種

                需要三個運算符，且運算符可以重複：4*4*4=64

                總計：1536

         2）考慮括號（是個難點）

                自己想的加括號：四個數有五種加括號方式：  (AB)CD  、 AB(CD)、 A(BC)D 、 A((BC)D) 、 (AB)(CD)、A(B(CD))

                 錯誤點：這裏添加括號的時候，需要把四個數都看成相乘。需要加兩個括號來列舉比較直觀

                                  AB(CD)  =   (AB)(CD)

                 改正後：((AB)C)D  、 (AB)(CD) 、 (A(BC))D 、 A((BC)D) 、A(B(CD))

                         

                四個運算數五種不同加括號方式的由來。這是一個經典的Catalan數問題。

                這個經典Catalan數問題在組合數學教材上都能找到。原題目是：n 個數相乘, 不改變它們的位置, 只用括號表示不同的相乘順序，令g(n)表示這種條件下構成不同乘積的方法數，令C(n)表示第n個Catalan數。則有g(n)=C(n-1)。前幾個Catalan數爲：C(0)=1，C(1)=1，C(2)=2，C(3)=5，C(4)=14，C(5)=42。所以g(4)=C(3)=5。

                根據Catalan數的計算公式，有g(4)=g(1)g(3)+g(2)g(2)+g(3)g(1)。

                Catalan數的計算公式也同時提供了構造答案的方法。對於4個數，中間有3個位置，可以在任何一個位置一分爲二，被分開的兩半各自的加括號方案再拼湊起來就得到一種4個數的加括號方案：

一個數時：(A)，一種

兩個數：g(2)=g(1)g(1)，所以是(A)(B)=(AB)，一種

三個數：g(3)=g(1)g(2)+g(2)g(1)=(A)(BC)+(AB)(C)，兩種

四個數：g(4)=g(1)g(3)+g(2)g(2)+g(3)g(1)

                 =(A)[(B)(CD)+(BC)(D)]+(AB)(CD)+[(A)(BC)+(AB)(C)](D)

                 =A(B(CD)) + A((BC)D) + (AB)(CD) + (A(BC))D + ((AB)C)D

         共有五種。於是寫代碼枚舉這五種加括號的方式即可。這種方法只是一種能得到正確答案的方法，擴展性和效率都極差。而且生成的表達式中也有冗餘括號。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

const double Threshold = 1E-6;
const int CardsNumber = 4;
const int ResultValue = 24;
double number[CardsNumber];
string result[CardsNumber];

bool PointsGame(int n)
{
     if(n == 1)
     {
          // 由於浮點數運算會有精度誤差，所以用一個很小的數1E-6來做容差值
          // 本書2.6節中討論瞭如何將浮點數轉化爲分數的問題
          if(fabs(number[0] - ResultValue) < Threshold)//結果等於24
          {
               cout << result[0] << endl;//輸出表達式
               return true;
          }
          else
          {
               return false;
          }
     }

     for(int i = 0; i < n; i++)//第一個數(計算時被兩個數結果替換)
     {
          for(int j = i + 1; j < n; j++)//第二個數(計算時候被最後一個數替換)
          {
               double a, b;//存放計算的數
               string expa, expb;//存放表達式中兩個數

               a = number[i];
               b = number[j];
               number[j] = number[n - 1];//去除第二個數

               expa = result[i];
               expb = result[j];
               result[j] = result[n - 1];//表達式去除

               result[i] = '(' + expa + '+' + expb + ')';
               number[i] = a + b;//去除第一個數
               if(PointsGame(n - 1))
                    return true;

               result[i] = '(' + expa + '-' + expb + ')';
               number[i] = a - b;
               if(PointsGame(n - 1))
                    return true;

               result[i] = '(' + expb + '-' + expa + ')';
               number[i] = b - a;
               if(PointsGame(n - 1))
                    return true;

               result[i] = '(' + expa + '*' + expb + ')';
               number[i] = a * b;
               if(PointsGame(n - 1))
                    return true;

               if(b != 0)
               {
                    result[i] = '(' + expa + '/' + expb + ')';
                    number[i] = a / b;
                    if(PointsGame(n - 1))
                         return true;
               }
               if(a != 0)
               {
                    result[i] = '(' + expb + '/' + expa + ')';
                    number[i] = b / a;
                    if(PointsGame(n - 1))
                         return true;
               }

               number[i] = a;//將本次循環的結果消除，繼續測試下一對數
               number[j] = b;
               result[i] = expa;
               result[j] = expb;
          }
     }
     return false;
}

int main()
{
    int x;
    for(int i = 0; i < CardsNumber; i++)
    {
         char buffer[20];
         cout << "the " << i << "th number:";
         cin >> x;
         number[i] = x;
         itoa(x, buffer, 10);
         result[i] = buffer;
    }
    if(PointsGame(CardsNumber))
    {
         cout << "Success." << endl;
    }
    else
    {
         cout << "Fail." << endl;
    }
}

三，分支限界法求解

#include <iostream>
#include <set>
#include <string>
#include <cmath>
using namespace std;

#define N   4   // 4張牌，可變
#define RES 24  // 運算結果爲24，可變
#define EPS 1e-6

struct Elem
{
    Elem(double r, string& i):res(r),info(i){}
    Elem(double r, char* i):res(r),info(i){}
    double res; // 運算出的數據
    string info; // 運算的過程
    bool operator<(const Elem& e) const
    {
        return res < e.res; // 在set的紅黑樹插入操作中需要用到比較操作
    }
};

int A[N];   // 記錄N個數據
// 用二進制數來表示集合和子集的概念，0110表示集合包含第2,3個數
set<Elem> vset[1<<N];   // 包含4個元素的集合共有16個子集0-15

set<Elem>& Fork(int m)
{
    // memo遞歸
    if (vset[m].size())
    {
        return vset[m];
    }
    for (int i=1; i<=m/2; i++)
        if ((i&m) == i)
        {
            set<Elem>& s1 = Fork(i);
            set<Elem>& s2 = Fork(m-i);
            set<Elem>::iterator cit1;
            set<Elem>::iterator cit2;
            // 得到兩個子集合的笛卡爾積，並對結果集合的元素對進行6種運算
            for (cit1=s1.begin(); cit1!=s1.end(); cit1++)
                for (cit2=s2.begin(); cit2!=s2.end(); cit2++)
                {
                    string str;
                    str = "("+cit1->info+"+"+cit2->info+")";
                    vset[m].insert(Elem(cit1->res+cit2->res,str));
                    str = "("+cit1->info+"-"+cit2->info+")";
                    vset[m].insert(Elem(cit1->res-cit2->res,str));
                    str = "("+cit2->info+"-"+cit1->info+")";;
                    vset[m].insert(Elem(cit2->res-cit1->res,str));
                    str = "("+cit1->info+"*"+cit2->info+")";
                    vset[m].insert(Elem(cit1->res*cit2->res,str));
                    if (abs(cit2->res)>EPS)
                    {
                        str = "("+cit1->info+"/"+cit2->info+")";
                        vset[m].insert(Elem(cit1->res/cit2->res,str));
                    }
                    if (abs(cit1->res)>EPS)
                    {
                        str = "("+cit2->info+"/"+cit1->info+")";
                        vset[m].insert(Elem(cit2->res/cit1->res,str));
                    }
                }
        }
    return vset[m];
}

int main()
{
    int i;
    for (i=0; i<N; i++)
        cin >> A[i];
    // 遞歸的結束條件
    for (i=0; i<N; i++)
    {
        char str[10];
        sprintf(str,"%d",A[i]);
        vset[1<<i].insert(Elem(A[i],str));
    }
    Fork((1<<N)-1);//開始1111 表示四個數
    // 顯示算出24點的運算過程
    set<Elem>::iterator it;
    for (it=vset[(1<<N)-1].begin();
       it!=vset[(1<<N)-1].end(); it++)
        {
            if (abs(it->res-RES) < EPS)
                cout << it->info << endl;
    }