認識生活中的泊松分佈

● 每週一言

有些人推動生活走，有些人則被生活推着走。

導語

公交地鐵站根據每天客流量的變化安排班次，銀行根據每天的排號人數決定開放櫃檯數，包子粥鋪根據每天賣出多少碗粥和多少個包子來充分備貨……這一類常見的生活問題都和泊松分佈息息相關。

那麼，如何直觀理解泊松分佈？

泊松分佈

要講泊松分佈，得先講講二項分佈，因爲泊松分佈是二項分佈的極限形式，是由二項分佈的公式取極限推導而來。

二項分佈，顧名思義，就是取值結果只有正負兩種的分佈，用數學語言描述就是關於n個獨立的正負實驗中成功次數的離散概率分佈。

二項分佈最典型的實驗是拋硬幣實驗，拋n次硬幣，有k次正面朝上的概率是多少？假設正面朝上的概率是p，根據排列組合，從n次中挑選出k次正面朝上，n-k次翻面朝上，發生的概率P爲：

P=Ckn×pk×(1−p)n−k$$P=C_n^k\times p^k\times (1-p{)}^{n-k}$$

這個便是二項分佈公式，二項分佈公式的數學期望μ = np。

這個時候大家可能發現了，要計算髮生k次的概率，在二項分佈中必須事先知道一個全局的n才行。然而，在前文提到的實際生活問題中，我們很難或者無法預先知道對應的n是多少。

比如潛在乘坐公交車的乘客總數，潛在需要去銀行辦業務的客戶總數，以及潛在包子粥鋪顧客總數等。這裏有一個前提假設，每一類人對相應事件的參與概率相同且互不影響，即獨立同概率假設。

人數n未知，難道就沒有辦法求這個概率P了嗎？聰明的小夥伴應該已經聯想到了取n的極限來求解P。沒錯，這個取極限求解P正是泊松分佈的推導過程。

P=limn→∞Ckn×pk×(1−p)n−k$$P=\underset{n\to \infty }{lim}{C}_n^k\times p^k\times (1-p{)}^{n-k}$$

可知，上式中只剩下p是未知的，根據二項公式的數學期望μ = np，我們知道p= μ / n，帶入上式並推導計算P的極限得：

P=P=P=limn→∞Ckn×(μn)k×(1−μn)n−klimn→∞n(n−1)(n−2)...(n−k+1)k!μknk(1−μn)n−klimn→∞μkk!n(n−1)...(n−k+1)nk(1−μn)−k(1−μn)n$$\begin{array}{rl}P=& \underset{n\to \infty }{lim}{C}_n^k\times (\frac{\mu }{n}{)}^k\times (1-\frac{\mu }{n}{)}^{n-k}\\ P=& \underset{n\to \infty }{lim}\frac{n(n-1)(n-2)...(n-k+1)}{k!}\frac{{\mu }^k}{n^k}(1-\frac{\mu }{n}{)}^{n-k}\\ P=& \underset{n\to \infty }{lim}\frac{{\mu }^k}{k!}\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}(1-\frac{\mu }{n}{)}^{-k}(1-\frac{\mu }{n}{)}^n\end{array}$$

將上式各個部分拆開來計算，根據指數e的極限求法，我們能得到：

limn→∞limn→∞n(n−1)...(n−k+1)nk(1−μn)−k=1(1−μn)n=e−μ$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \infty }{lim}& \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^k}(1-\frac{\mu }{n}{)}^{-k}=1\\ \underset{n\to \infty }{lim}& (1-\frac{\mu }{n}{)}^n=e^{-\mu }\end{array}$$

將上式帶入極限求解，P的極限最終變成了只和k、μ相關的式子，即泊松分佈公式。

Pk==limn→∞Ckn×pk×(1−p)n−kμkk!e−μ(22)$$\begin{array}{rl}{P}_k=& \underset{n\to \infty }{lim}{C}_n^k\times p^k\times (1-p{)}^{n-k}\\ \text{(22)}& =& \frac{{\mu }^k}{k!}{e}^{-\mu }\end{array}$$

有了泊松分佈公式，已知均值μ，我們不需要知道總數n，就能求得k值對應的概率是多少。

拿之前的包子粥鋪作爲例子直觀說明一下泊松分佈公式的用法：已知包子粥鋪歷史每天平均賣出μ=100個包子，爲了保證未來每天不夠賣的概率低於10%，每天最少需要準備多少個包子？

假設最少需要準備n個包子，根據泊松公式可得如下不等式：

∑k=1nPk=∑k=1n100kk!e−100>1−10%=0.9$$\sum _{k=1}^n{P}_k=\sum _{k=1}^n\frac{{100}^k}{k!}{e}^{-100}>1-10\mathrm{\%}=0.9$$

可知，滿足上式的最小n即爲問題的解。

以上便是泊松分佈的講解，敬請期待下節內容。

結語

感謝各位的耐心閱讀，後續文章於每週日奉上，敬請期待。歡迎大家關注小鬥公衆號 對半獨白！