zigzag數組：輸入n，求一個nXn矩陣，規定矩陣沿45度遞增，形成一個zigzag數組

轉載自：https://blog.csdn.net/u013074465/article/details/43062985

同樣是找規律的螺旋隊列見這個帖子。

面試題目：

輸入n，求一個nXn矩陣，規定矩陣沿45度遞增，形成一個zigzag數組(JPEG編碼裏取像素數據的排列順序)，請問如何用C++實現？

（中國臺灣著名硬件公司2007年11月面試題）（自程序員面試寶典第四版92頁）

看了網上的好幾篇文章，由於本人 愚鈍，未能理解，故自己認真想了想，總結如下。

對zigzag數組，可以理解爲一個矩陣，分爲兩部分來解決：右上部分和左下部分。

數組下標

圖1 給出了一個n=7時候的矩陣的下標變化情況，例如“24”表示矩陣的第2行第4列（從0開始）。

  

右上部分

右上部分數字依次增大的順序如圖2的紅色箭頭所示，該部分包括矩陣的對角線。

注意下面的分析中，最終的規律都要轉化到下標上，因爲該二維數組是和下標緊密相關的。

對右上部分來說：結合圖1和圖2可以看出幾個規律：

（1）沿着紅色箭頭的方向，數組的值從0開始，每次加1，逐漸增大。

（2）每條紅線上的下標之和均相等，例如第三條紅線，下標和都是2；並且下標和從0開始，每次加1，依次增加。矩陣對角線的下標和是6。

（3）第零條紅線上數字個數爲一個（下標和爲0），第一條紅線上數字爲2個（下標和爲1），……，對角線爲第六條紅線，數字個數爲七（下標和爲6）。即：第s條紅線上數字個數爲s + 1個，s = 下標和。設二維數組的某個下標爲（i,j），那麼下標和s = i + j。

（4）每條斜線上第一個數字（也是最小的數字）是上一行最大數字加1。也等於之前所有斜線上的數字的個數之和，例如第四條斜線上第一個數組是6，它等於第一、二、三條斜線上的數字之和6。

（5）而每條斜線上數字個數是一個等差數列，第0斜線1個，第1斜線2個，……，第s斜線s + 1個。又因爲 s = i + j ，  因此，前s條（從0條到第s-1條）斜線上一共有1 + 2 + ……+ s個數字，也就是s(s+1)/2個數字；轉化爲與下標相關：用下標表示(s= i+j)：s(s+1)/2。即，下一斜線的第一個數字值就是s(s+1)/2。

         得到了每條斜線上第一個數字的值，那麼該斜線上之後的每個值都是在這個值的基礎上依次加1得到的。

（6）下標和爲奇數時紅線的箭頭是向左下方的，且下標i是從0依次增大的；下標和爲偶數時箭頭是朝右上方的，且下標j是從0依次增大的。因此某斜線上的數字a[i][j]可以表示如下：當s % 2 != 0，即下標和爲奇數時，表示爲s(s+1)/2 + i；當s%2 ==0，即下標和爲偶數時，表示爲s(s+1)/2 + j。

因此某個位置上的值爲s(s+1)/2 + ((i + j)%2 != 0 ? 0:1)

（7）當下標和s 1等於輸入的n - 1時，就是矩陣的對角線，這個作爲左上部分結束的條件。

左下部分

        左下部分並不符合右上部分的規律，但該部分的規律也是十分明顯的。該部分的圖如下所示（在右側同時給出了圖2用於對比），圖中顯示的該部分相對於n* n所應該減去的值，這裏n*n=7*7= 49。例如最左側第一條斜線上數字48 = n*n - 1，所以圖3該位置標爲-1，這是爲了方便找規律。

左下部分從最左側的斜線開始，也符合以下幾個規律：

（1）該部分第一條斜線也是由一個元素組成，第二條斜線是由兩個元素組成，……

（2）相對於n*n所減去的值不斷加1，因此，該部分每個數字值都是n*n減去某個有規律的數。

根據右上部分的規律，也從只有一個元素的斜線來分析該部分：

將下標與斜線條數關聯：

第s條（s大於等於0）斜線與下標i和j的關係：s=2n - (i + j) - 2。例如上圖左下部分最長的斜線爲第5條斜線：5 = 2*7 -  7 - 2。

 那麼第s條斜線左方所有的斜線上的數字個數之和D爲D = 1+2+……+s = s(s+1)/2。

第s條斜線上的第一個元素減去的值爲s(s+1)/2 + 1，即D+1，第2個數爲D+2，第k個數是D+k，即某斜線第k個數上減去的值爲D + i，如何k跟下標發生關係呢？在右上部分時，這個1直接是與i或j相同，但這裏分析圖1並不能直接與i或j相關，分析可以得到k可以用k = n - ((i + j)%2 != 0 ? i ： j)來表示。

所以某個位置上相對於n*n減去的值是D +k = s(s+1)/2 + n - ((i + j)%2 != 0 ? i ： j)，因此某個位置上的值爲n*n - (D + k) = n*n - [s(s+1)/2 + n - ((i + j)%2 != 0 ? i ： j)]。

代碼如下：

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;

int **printnxn(int **pSpace,int N) {
    int s,i,j;
    int squa;
    pSpace = (int **)malloc(N*sizeof(int *));
    if(pSpace == NULL)
        return 0;
    for(i=0; i<N; i++) { //注意這裏的內存分配和釋放
        if ((pSpace[i] = (int *)malloc(N*sizeof(int))) == NULL) {
            while (--i>0) {
                free(pSpace[i]);
            }
            free(pSpace);
            return 0;
        }
    }
    squa = N*N;
    for (i=0; i<N; i++) {
        for (j=0; j<N; j++) {
            s = i + j;
            if (s<N)//解決右上部分，判斷條件是下標和i+j小於輸入的n
            {
                pSpace[i][j] = s*(s+1)/2 + (((i+j)%2 != 0) ? i : j);  //註釋A
            }
            else//解決右下部分
            {
                s = (N-1-i) + (N-1-j);
                pSpace[i][j] = squa - s*(s+1)/2 -(N-(((i+j)%2 != 0)? i : j)); //註釋B
            }
        }
    }
    for (i=0;i<N; i++) {
        for (j=0; j<N; j++) {
             printf("%6d",pSpace[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return pSpace;
 }

int main() {
    int N;
    scanf("%d",&N);
    int **p;
    printnxn(p,N);
}

注：《程序員面試寶典》第93頁該題的代碼中，與上面代碼註釋A、B處的兩行代碼對應位置用了“==”，會得到下圖所示的錯誤結果，與該書代碼前邊註釋給出的示例數組不符。正確的應爲上面代碼註釋A、B處那樣爲“!=”。上述文字已經給出了詳細分析。