全排列生成算法：next_permutation

http://www.cnblogs.com/devymex/archive/2010/08/17/1801122.html

概念

全排列的生成算法有很多種，有遞歸遍例，也有循環移位法等等。C++/STL中定義的next_permutation和prev_permutation函數則是非常靈活且高效的一種方法，它被廣泛的應用於爲指定序列生成不同的排列。本文將詳細的介紹prev_permutation函數的內部算法。

按照STL文檔的描述，next_permutation函數將按字母表順序生成給定序列的下一個較大的序列，直到整個序列爲減序爲止。prev_permutation函數與之相反，是生成給定序列的上一個較小的序列。二者原理相同，僅遍例順序相反，這裏僅以next_permutation爲例介紹算法。

下文內容都基於一個假設，即序列中不存在相同元素。對序列大小的比較做出定義：兩個長度相同的序列，從兩者的第一個元素開始向後比較，直到出現一個不同元素（也可能就是第它們的第一個元素），該元素較大的序列爲大，反之序列爲小；若一直到最後一個元素都相同，那麼兩個序列相等。

設當前序列爲p_n，下一個較大的序列爲p_n+1，那麼不存在p_m，使得p_n < p_m < p_n+1。

 

問題

給定任意非空序列，生成下一個較大或較小的序列。

 

數學推導

根據上述概念易知，對於一個任意序列，最小的序列是增序，最大的序列爲減序。那麼給定一個p_n要如何才能生成p_n+1呢？先來看下面的例子：

我們用<a₁ a₂ ... a_m>來表示m個數的一種序列。設序列p_n=<3 6 4 2>，根據定義可算得下一個序列p_n+1=<4 2 3 6>。觀察p_n可以發現，其子序列<6 4 2>已經爲減序，那麼這個子序列不可能通過交換元素位置得出更大的序列了，因此必須移動最高位3（即a₁）的位置，且要在子序列<6 4 2>中找一個數來取代3的位置。子序列<6 4 2>中6和4都比3大，但6大於4。如果用6去替換3得到的序列一定會大於4替換3得到的序列，因此只能選4。將4和3的位置對調後形成排列<4 6 3 2>。對調後得到的子序列<6 3 2>仍保持減序，即這3個數能夠生成的最大的一種序列。而4是第1次作爲首位的，需要右邊的子序列最小，因此4右邊的子序列應爲<2 3 6>，這樣就得到了正確的一個序列p_n+1=<4 2 3 6>。

下面歸納分析該過程。假設一個有m個元素的序列p_n，其下一個較大序列爲p_n+1。

1) 若p_n最右端的2個元素構成一個增序子序列，那麼直接反轉這2個元素使該子序列成爲減序，即可得到p_n+1。

2) 若p_n最右端一共有連續的s個元素構成一個減序子序列，令i = m - s，則有p_n(i) < p_n(i+1)，其中p_n(i)表示排列p_n的第i個元素。例如p_n=<1 2 5 4 3>，那麼p_n的右端最多有3個元素構成一個減序子集<5 4 3>，i=5-3=2，則有p_n(i)=2 < 5=p_n(i+1)。因此若將p_n(i)和其右邊的子集s {p_n(i+1), p_n(i+2), ..., p_n(m)}中任意一個元素調換必能得到一個較大的序列（不一定是下一個）。要保證是下一個較大的序列，必須保持p_n(i)左邊的元素不動，並在子集s {p_n(i+1), p_n(i+2), ..., p_n(m)}中找出所有比p_n(i)大的元素中最小的一個p_n(j)，即不存在p_n(k) ∈ s且p_n(i) < p_n(k) < p_n(j)，然後將二者調換位置。現在只要使新子集{p_n(i+1), p_n(i+2), ..., p_n(i), ...,p_n(m)}成爲最小序列即得到p_n+1。注意到新子集仍保持減序，那麼此時直接將其反轉即可得到p_n+1 {p_n(1), p_n(2), ..., p_n(j), p_n(m), p_n(m-1), ..., p_n(i), ..., p_n(i+2), p_n(i+1)}。

 

複雜度

最好的情況爲p_n的最右邊的2個元素構成一個最小的增序子集，交換次數爲1，複雜度爲O(1)，最差的情況爲1個元素最小，而右面的所有元素構成減序子集，這樣需要先將第1個元素換到最右，然後反轉右面的所有元素。交換次數爲1+(n-1)/2，複雜度爲O(n)。因爲各種排列等可能出現，所以平均複雜度即爲O(n)。

 

擴展

1. 能否直接算出集合{1, 2, ..., m}的第n個排列？

設某個集合{a₁, a₂, ..., a_m}（a₁<a₂<...<a_m）構成的某種序列p_n，基於以上分析易證得：若a_s<a_t，那麼將a_s作爲第1個元素的所有序列一定都小於a_t作爲第1個元素的任意序列。同理可證得：第1個元素確定後，剩下的元素中若a_s'<a_t'，那麼將a_s'作爲第2個元素的所有序列一定都小於作爲第2個元素的任意序列。例如4個數的集合{2, 3, 4, 6}構成的序列中，以3作爲第1個元素的序列一定小於以4或6作爲第1個元素的序列；3作爲第1個元素的前題下，2作爲第2個元素的序列一定小於以4或6作爲第2個元素的序列。

推廣可知，在確定前i（i<n）個元素後，在剩下的m-i=s個元素的集合{a_q1, a_q2, ..., a_q3}（a_q1<a_q2<...<a_qm）中，以a_qj作爲第i+1個元素的序列一定小於以a_qj+1作爲第i+1個元素的序列。由此可知：在確定前i個元素後，一共可生成s!種連續大小的序列。

根據以上分析，對於給定的n（必有n<=m!）可以從第1位開始向右逐位地確定每一位元素。在第1位不變的前題下，後面m-1位一共可以生成(m-1)!中連續大小的序列。若n>(m-1)!，則第1位不會是a₁，n中可以容納x個(m-1)!即代表第1位是a_x。在確定第1位後，將第1位從原集合中刪除，得到新的集合{a_q1, a_q2, ..., a_q3}（a_q1<a_q2<...<a_qm），然後令n₁=n-x(m-1)!，求這m-1個數中生成的第n₁個序列的第1位。

舉例說明：如7個數的集合爲{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，要求出第n=1654個排列。

(1654 / 6!)取整得2，確定第1位爲3，剩下的6個數{1, 2, 4, 5, 6, 7}，求第1654 % 6!=214個序列；

(214 / 5!)取整得1，確定第2位爲2，剩下5個數{1, 4, 5, 6, 7}，求第214 % 5!=94個序列；

(94 / 4!)取整得3，確定第3位爲6，剩下4個數{1, 4, 5, 7}，求第94 % 4!=22個序列；

(22 / 3!)取整得3，確定第4位爲7，剩下3個數{1, 4, 5}，求第22 % 3!=4個序列；

(4 / 2!)得2，確定第5爲5，剩下2個數{1, 4}；由於4 % 2!=0，故第6位和第7位爲增序<1 4>；

因此所有排列爲：3267514。

 

2. 給定一種排列，如何算出這是第幾個排列呢？

和前一個問題的推導過程相反。例如3267514：

後6位的全排列爲6!，3爲{1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7}中第2個元素（從0開始計數），故2*720=1440；

後5位的全排列爲5!，2爲{1, 2, 4, 5, 6, 7}中第1個元素，故1*5!=120；

後4位的全排列爲4!，6爲{1, 4, 5, 6, 7}中第3個元素，故3*4!=72；

後3位的全排列爲3!，7爲{1, 4, 5, 7}中第3個元素，故3*3!=18；

後2位的全排列爲2!，5爲{1, 4, 5}中第2個元素，故2*2!=4；

最後2位爲增序，因此計數0，求和得：1440+120+72+18+4=1654

 

C++/STL實現

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

#include <algorithm> #include <iostream> #include <string> using namespace std; //主函數，算法詳見相關說明 int main(void) {     //循環處理輸入的每一個字符串     for (string str; cin >> str;) {         if (str.empty()) {             continue;         }         //如果字符串只有1個字符，則直接輸出結束         if (str.length() <= 1) {             cout << "No more Permutation" << endl;         }         //iPivot爲右邊最大減序子集左邊相鄰的一個元素         string::iterator iPivot = str.end(), iNewHead;         //查找右邊最大的減序子集         for (--iPivot; iPivot != str.begin(); --iPivot) {             if (*(iPivot - 1) <= *iPivot ) {                 break;             }         }         //如果整個序列都爲減序，則重排結束。         if (iPivot == str.begin()) {             cout << "No more Permutation" << endl;         }         //iPivot指向子集左邊相鄰的一個元素         iPivot--;         //iNewHead爲僅比iPivot大的元素，在右側減序子集中尋找         for (iNewHead = iPivot + 1; iNewHead != str.end(); ++iNewHead) {             if (*iNewHead < *iPivot) {                 break;             }         }         //交換iPivot和iNewHead的值，但不改變它們的指向         iter_swap(iPivot, --iNewHead);         //反轉右側減序子集，使之成爲最小的增序子集         reverse(iPivot + 1, str.end());         //本輪重排完成，輸出結果         cout << str << endl;     }     return 0; }