Codeforces 521C 组合数取模（乘法逆元）

【题目链接】
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=106914#overview

【解题报告】
之前很少遇到组合数取模的问题（做题太少了)，所以就GG了……组合数取模这一问题在算法竞赛中还是很常见的，必须扎实掌握。
回到这道题目来，你需要在n个数之间放k个加号，然后求出所有方案的和。
我们知道正向思维，即求出所有的方案，然后对每个方案进行求和是不可取的（数据规模太大）。
所以把这个过程去冗余，怎么去冗余呢？我们知道位置i的数字a[i]会在C(n-1,k)种方案中出现，而它在每种方案中只可能以第1位（从低位开始计），第二位…..这些情况出现。
所以我们考虑枚举每一位数字在各个位置上出现的次数

设s[i]表示第i位数字a[i]在总和中的贡献，
s[i]/a[i]=10^(i-1)C(n-i,k)+ sigma{   10^(j-1)C(n-j-1,k-1)    }( 1<=j<=i-1 )

我们直接对这个式子进行求和即可。（要注意，需要把右面的式子提取出来，处理一下前缀和，否则O(n^2)的时间复杂度是无法承受的）
由于n的范围为n<=1e5，所以这里的组合数取模需要使用乘法逆元。
这里学习了一个通过预处理O(1)查询C(n,m)的方法。
其中fac[m]是m!; inv[m]是m!%mod的逆元。

【参考代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace  std;
typedef long long LL;
const int maxn=3e5+100;
const int mod=1e9+7;
int n,k;
char s[maxn];
LL a[maxn];


LL Pow[maxn],fac[maxn],inv[maxn],f[maxn];
void init()
{
      scanf( "%d%d%s",&n,&k,s+1 );
      Pow[0]=1;
      for( int i=1;i<=n;i++ ) Pow[i]=Pow[i-1]*10%mod;
      for(  int i=1;i<=n;i++ ) a[i]=s[n-i+1]-'0';

      fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=f[0]=f[1]=1;
      for(  int i=2;i<maxn;i++ )
      {
            fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
            LL t=mod/i,k=mod%i;
            f[i]=(mod-t)*f[k]%mod;
            inv[i]=inv[i-1]*f[i]%mod;
      }
}

LL C( int n, int m  )
{
      if( m<0 || m>n )return 0;
      return fac[n] * inv[m] %mod * inv[n-m] % mod;
}

LL dp[maxn];
void solve()
{
      dp[0]=0;
      for(  int j=1;j<=n-1;j++ )
      {
            dp[j]=dp[j-1]+Pow[j-1]*C(  n-j-1,k-1 );
            dp[j]%=mod;
      }
}


int main()
{
      init();
      LL ans=0;
      solve();
      for( int i=1;i<=n;i++ )
      {
            ans+=a[i]*dp[i-1];
            ans%=mod;
            ans+=a[i]*Pow[i-1]*C(n-i,k);
            ans%=mod;
      }
      cout<<ans<<endl;
      return 0;
}