基於Excel的QR二維碼生成工具——原理及算法詳解(之一）

老虎二維碼（下載鏈接在這裏）是一個基於Excel的二維碼生成工具，完全使用Excel表單公式結合VBA實現，沒有調用任何外部庫，實現了支持中文英文混合字符以及常用微信二維碼編碼的自動生成，在工作表單元格中填充二維碼，並可以保存爲圖片複製到剪貼板中。

老虎二維碼工具從編碼構造、RS碼計算一直到QR碼的填充全部都通過VBA或工作表函數實現的。爲了完成這個工具，花了兩個月的時間研究了QR Specification，尤其是裏德所羅門算法生成RS糾錯碼的算法，終於實現了Excel中的生成算法。由於在研究的過程中發現很難找到一份詳細完整的資料，能夠將二維碼尤其是RS碼的計算算法講清楚，因此決定寫幾篇文章，詳細介紹基於Excel的二維碼編碼算法，並且儘量提供更多的乾貨，以便後來的同好共同學習

先從RS糾錯碼開始吧！

RS糾錯碼可以說是QR碼編碼過程中至關重要的關鍵，但是這部分關鍵的內容在QR Specifications以及後來的GB18284-2000中都語焉不詳地一筆帶過，網上找過很多大神寫的文章同樣對這個神祕的RS碼也是諱莫如深，更加增添了它的神祕感。因此，我特意將這部分內容放在整篇文章之首，就是爲了讓大家更快地瞭解這個RS碼的Excel計算算法的實現過程

在開始之前，我必須說，對於RS碼計算的基礎，也就是羣論等高深的數學知識，其實我也沒有搞懂，但是感謝網絡上提供各種知識片段的大神們，讓我能夠經過不懈努力拼湊出了整個算法的全貌

首先，RS碼的計算不是在我們所熟悉的有理數域上實現的，而是在一個名爲“伽羅華域”的奇怪的域上進行的，這裏簡單介紹一下域的概念：如果一個數的集合，且這個集合上定義了+和X兩種運算，如果這個集合中的元素對“+”運算和“X”運算都滿足交換律，而且“X”運算對“+”運算滿足結合律，那麼就將這個集合以及兩種運算稱爲一個域。打個比方說，所有的整數以及運算加法和乘法就是一個域，稱爲整數域，同樣，有理數的加法和乘法也是一個域，稱爲有理數域。而且他們都是封閉域，因爲他們的計算結果仍然在域內：

• 1+2=3 ，1和2都屬於整數，運算結果3也屬於整數
• 2.5∗3.6=9 ，2.5和3.6都在有理數域內，運算結果9也在有理數域內

用來計算RS碼的“伽羅華域”就是一個符合以上定義的域，同樣也是封閉域，但是這個域跟有理數或整數域有一個非常大的不同的性質，那就是這是一個有限域。也就是說，伽羅華域不像是整數和有理數域，它的元素是有限的，比如伽羅華域GF（28） 只有255個元素，但是這255個元素中任意兩個在這個域上定義的運算法則下（它也有加法與乘法）的計算結果也永遠在這255個元素以內，比如：

伽羅華域GF（28） 內的元素爲：{1,2,4……，142}

其中：

• 32*254=91，32和254都在GF(28) 內，乘法運算結果91也在GF(28) 內
• 120+57=65，120和57都在GF(28) 內，加法運算結果65也在GF（2^8）內

伽羅華域的上述性質讓它在密碼計算領域非常受重視，而且得到非常廣泛的應用。同樣，QR碼也利用了伽羅華域的這個性質，不錯！RS的計算其實就是密碼計算！

爲了計算RS糾錯碼，通常的資料上都說，使用數據碼多項式對生成多項式求餘，得到的餘數多項式就是糾錯碼，而這裏所涉及的所有多項式計算，都是在伽羅華域GF28 上進行的。

因此，計算RS碼的第一步就是求出GF28 的所有元素來。這一步我是利用Excel工作表函數實現的，這樣同樣比較可視化

從QR Specification（GB18284-2000）中我們知道，用於計算QR碼的多項式是在以多項式:

x8+x4+x3+x2+1=0

爲模的伽羅華域GF(28) 上生成的。怎麼理解呢？簡單說來，我們首先知道GF(28) 共有255個元素，而且這些元素全部都可以寫成一個元素a 的冪次的形式，元素a 是一個假想出來的元素，稱爲伽羅華域的本原元素，簡稱“本原元”，而所有的元素都是a 的冪次形式，具體來說，GF(28) 的元素包括：

a0,a1,a2,...,a254,

這所有的元素如果寫成二進制，則剛好可以表示成多項式的形式，多項式的每一項的指數數表示二進制數的位數，而多項式的係數（1或0）則表示該位上的數字，如下面的多項式

x8+x4+x3+x2+1=0

表示的數字就爲：

100011101

從左到右分別是這個二進制數的第8位、第7位依次到第0位。多項式指數爲8的項係數爲1，二進制數的第8位就爲1，依次下來第4,3,2位都爲1，多項式指數爲4,3,2的三項同樣爲1.指數爲0時，該項爲1，其他所有位的數字爲0。所以這個多項式就表示了這樣一個二進制數。
瞭解以上定義後，還需要知道，在伽羅華域上定義了加法和乘法兩種運算：

• 加法運算：定義爲兩個元素的異或運算
• 乘法運算：定義爲兩個元素的x的冪次相加並

因此，GF（2^8）上的元素就可以計算爲：

a0=1

a1=a

a2=a2

...

a8=a8=a4+a3+a2+1

上式是因爲a8+a4+a3+a2+1=0 ，根據異或運算的規則，有a8=a4+a3+a2+1 ，接下來還可以繼續計算a9 ：

a9=a8∗a=a5+a4+a3+a

...

a12=a8+a7+a6+a4=a4+a3+a2+1+a7+a6+a4=a7+a6+a3+a2+1

注意到了麼，上面式子裏a4 項出現兩次，因此根據異或運算法則相消了。按照上面的式子以此類推就可以計算出所有GF(28) 中的元素，而且可以驗算，從a255 開始，結果就開始重複了。這些元素的多項式按照前面所述的規則表示爲二進制數，就是GF(28) 中元素的值了。如：

a12=a7+a6+a3+a2+1

−>

(11001101)2=(205)10

255個元素當然不可能全手工計算，在Excel中，我使用了下面的工作表函數來計算出所有的元素值:

具體的工作表函數很簡單，我就不一一列出了，這樣可以很快計算出GF(28) 的所有元素：

{1,2,4,8,16,32,64,128,29,58,116,232,…,173,71,142}

到這裏，我們已經計算出了伽羅華域的所有元素，在下篇文章中，我們將探討RS糾錯碼的計算，生成多項式的計算等內容