網上有一道火車運煤的問題。
題目:
你是山西的一個煤老闆，你在礦區開採了有3000噸煤需要運送到市場上去賣，從你的礦區到市場有1000公里，你手裏有一列燒煤的火車，這個火車最多隻能裝1000噸煤，且其能耗比較大——每一公里需要耗一噸煤。請問，作爲一個懂編程的煤老闆的你，你會怎麼運送才能運最多的煤到集市？
開始看到題目覺得沒有解,火車運1000噸,到終點後,什麼也沒有了,都在路上消耗光了,但是一次性從頭開到尾,還有很多煤在起點,沒有運。因此火車不能一次性開到尾，一定先開到中途某一點，選擇這一點作爲中轉站,卸下部分煤，然後返回再去運（當然前提條件是火車首尾都必須有火車頭！）。既然是求最值問題，我首先想到的這道題可能的幾個思路：1.建立數學方程求最值；2.通過編程窮舉。
首先我自己想舉個實際的情況看看，怎樣運煤到終點。
假設火車開始行到400公里，然後卸煤。火車運送三次到400公里點處，在400公里處剩餘1000噸(3000-5*400),剩下600公里，火車裝滿煤，然後到終點還剩400噸煤。
這說明火車是可以運煤到終點的。如何才能求的運送的最大值？我現在遇到的困難是：
1.火車可以現在任意個地方做爲中轉站。火車可以走到一公里處選擇卸煤，剩下的煤剛夠返回；火車還可以在100公里處選擇卸煤，然後返回；甚至可以在10.4公里處，選擇卸煤。
2.選擇中轉站的次數是任意的。比如從開始到100公里之間，我可以選擇只在100公里處卸煤，再返回運煤；我也可以選擇在中間某個地方卸煤，然後到100公里出卸煤；或者我可以選擇中間兩個地方作爲中轉站。可以選擇中轉站的次數是任意的。
3.選擇同一個地方爲中轉站，但火車返回的趟數不固定。比如我一開始可以選擇在100公里處選擇卸煤，我可以返回一趟運煤；我也可以返回兩趟運煤。
這麼看來可能運煤的方式有無數種，無從下手。
我就從一公里下手，假設火車每走一公里就選擇中轉站，然後回上次的出發點運煤，分析中會發現：
火車從A點出發，到B點中轉，那麼運煤的情況只可能是下面三種：
1. A運到B，不選擇返回
2. A運到B，返回A一次，然後再回到B
3. A運到B，返回A兩次，在返回B
這是因爲：
火車最多運送1000噸煤，而煤的總量是3000噸，所以只能出現上面這三種情況。這是一個很重要的信息。
注意：爲了儘可能多的運煤，每次從中轉站返回時，火車裝的煤剛好夠返回，多餘的煤存放在中轉站。
我們又發現幾個規律。
1.等效性。
假設從位置A運煤到位置B，返回A兩次；從位置B運煤到位置C,返回B兩次。這種運煤方式等效於：從A運煤到C，返回A兩次。
2. 還可以發現一個規律，姑且叫返回次數不可增大性。
假設從位置A運煤到位置B，返回A一次；接着從位置B運煤到位置C，則到達C之後，最多隻能返回一次B，然後再回到C。
原因：從A到B，返回A一次，所以火車從A運了兩次煤到B，每次最多1000，火車行走還有消耗煤，所以火車運到B的煤總量必然小於2000。如果火車到達車C返回B兩次，那麼從A運到B的煤就必須大於2000，所以最多隻能返回一次B，然後回到C。
每次從一個地方A運煤到另一個地方B，都要儘可能多的把A原有的煤運到B處。從出發點，我們就要把原先3000噸煤儘可能多的運到第一個中轉站，開始一定是返回出發點兩次（也就是運三次煤到第一個中轉站）；接着一定是返回一次到中轉站（也就是運兩次煤到第二個中轉站）；然後直接運煤到終點
所以，有上面的分析，即使可能會出現無數種運煤方式，最優的運煤方式一定符合下面的情行：
Start------------Two-------------One----------End
Start代表出發點；End代表終點；Two代表一箇中轉站，返回Start處兩次（也就是從Start處總共運了三次煤到Two處）；One代表一箇中轉站，返回Two處一次（也就是從Two出總共運了兩次煤到One處）；最後從One處直接運送一次煤到終點。
其它可能的情況：Start------------Two-------------End，這種情況也被上面所包含。當位置Two和位置One重合時就是這種特殊情況。
所以現在我們就對下面的情況進行分析。
Start------------Two-------------One----------End
假設Start處座標爲0，位置Two的座標爲X，位置One的座標爲Y。即：
0--------------X--------------------Y--------------1000
分兩種情況討論
I.3000-5X >= 2000, X<=200
這時運到Y處的煤總量是：2000-3(Y-X),再考慮兩種情況，
i)2000-3(Y-X) >= 1000, (Y-X)<=1000/3;
最終運送到終點的煤：1000-(1000-Y)=Y
Y<=1000/3+X=533.33
所以最多是運送533.33,X=200,Y=333.33。
ii)2000-3(Y-X) < 1000, 3(Y-X)>1000
最終運送到終點的煤：
2000-3(Y-X)-(1000-Y)=1000-2Y+3X=1000-2(Y-X)+X<1000-1000*(3/2)+200=533.33
II.3000-5X < 2000, X>200
這時運送到Y處的煤總量是：3000-5X-3(Y-X)=3000-3Y-2X,同樣再考慮兩種情況，
i) 3000-3Y-2X>=1000
最終運送到終點的煤：1000-(1000-Y)= Y,
Y<=(2000-2X)/3<1600/3=533.33
ii) 3000-3Y-2X<1000
最終運送到終點的煤：3000-3Y-2X-(1000-Y)= 2000-2Y-2X
由3000-3Y-2X<1000，得到2(Y+X)>(2000+X)*(2/3),
所以，2000-2Y-2X <2000 - (2000+X)*(2/3) <2000-(2000+200)*(2/3)=533.33
所以由上面分析知道最多運煤533.33噸。