歐幾里得算法與不定方程

本文主要介紹數論中的歐幾里得算法，線性方程及它們之間的關係。本文主要參考了《數論概論》，因此將本文當成這本書的讀書筆記也未嘗不可。

(本文正被完善中……)

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歐幾里得算法

問題：求60和22的最大公約數（兩個數的最大公約數a, b是能夠整除它們的最大數，記爲gcd(a, b)）。

因爲這兩個數比較小，所以我們完全可以通過肉眼觀察出其最大公約數：2 。那麼對於（225,120 ）這一組數呢？我們可以分解兩個數的因子：

225=32×52

120=23×3×5

然後求出所有數的約數（a 的約數divisor(a) 表示能夠整除a 的數）：

divisor(225)={1,3,5,9,15,25,45,75,225}

divisor(120)={1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120}

它們的公約數

commonDivisor(225,120)={1,3,5,15}

其中最大的15 就是它們的最大公約數（根據最大公約數的定義）。大功告成，總算讓人鬆了一口氣。按照這個方法，不論來什麼樣的一組數，我們都可以輕鬆的求它們的最大公約數了。等等，真的是這樣嗎？那麼來看看這一組數：

(1160718174,316258250)

我的天，這題誰愛算誰算吧（溜~）。

下面介紹歐幾里得算法，只要掌握了這種算法，就可以用極其快的速度算出兩個數的最大公約數，就算是上面那兩個天文數字也OK 。不僅如此，歐幾里得算法還很容易通過編程實現，那麼就可以利用計算機的計算能力迅速的解決大多數（指的是有機會碰上的）最大公約數的問題，其代碼量只有三行。

在介紹算法的具體過程之前，我打算先用文字描述一下這個算法，即使無法很好的說清楚這個算法，也讓先有一個大體的概念。

歐幾里得算法：可以用以下方法求a, b的最大公約數gcd(a, b)：

1. 計算r=amodb ，然後令a=b,b=r 。
2. 重複步驟1 ，直到r=0 ，此時b 就是答案。

下面我們將利用歐幾里得算法計算gcd(1160718174,316258250) ：

1160718174=3  ×316258250+211943424

316258250  =1  ×211943424+104314826

211943424  =2  ×104314826+3313772

104314826  =31×3313772    +1587894

3313772      =2  ×1587894    +137984

1587894      =11×137984      +70070

137984        =1  ×70070        +67914

70070          =1  ×67914        +2156

67914          =31×2156          +1078 (最大公約數)

2156            =2  ×1078          +0

我們只用了10 次計算就將這兩個天文數字的最大公約數計算出來了。下面用一種不嚴謹的方法證明這種計算方法是對的（爲了證明的方便，這裏僅以上面的數據爲例，不做一般性的證明）：

先證明1078 是1160718174 和316258250 的公約數：
1078 能夠整除2156 （最後一個式子）

因爲1078 能夠整除1078 和2156 ，所以1078 能夠整除67914 （倒數第二個式子）

……（以此類推）

因爲1078 能夠整除104314826 和211943424 ，所以1078 可以整除316258250 （第二個式子）

因爲1078 能夠整除316258250 和211943424 ，所以1078 可以整除1160718174 （第一個式子）

再證明1078 是兩數的公約數中最大的那個：

假設d 爲兩數的任意公約數

因爲d 能夠整除1160718174 和316258250 ，所以d 能夠整除211943424 （第一個式子）

因爲d 能夠整除316258250 和211943424 ，所以d 能夠整除104314826 （第二個式子）

……（以此類推）

因爲d 能夠整除67914 和2156 ，所以d 能夠整除1078 （倒數第二個式子）

那麼1160718174 和316258250 的任意公約數都能整除1078 ，那麼1078 是兩數的最大公約數。

簡潔而神奇，這就是歐幾里得算法。

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擴展歐幾里得算法

問題：求方程60x + 22y = gcd(60, 22)的一組解

這是個關於x,y 的不定方程。我們觀察這個方程。方程中有兩個未知數，並且有一個奇怪的東西：gcd(60,22) 。爲什麼這個方程長得如此奇怪呢？這要從一條叫貝祖定理的定理說起：

貝祖定理：設a,b是不全爲零的整數，則存在整數x,y，使得ax + by = gcd(a，b)。

所以是因爲這個方程的解一定存在，所以我們本着一顆“無聊的心”來考察一下這方程的如何求解。哈哈~

（事實上ax + by的結果一定是gcd(a, b)的整數倍，所以如果要討論ax + by這種整數線性方程的話，就必然要討論這個方程）

首先不管方程的解法如何，求出gcd(60,22) 都是必須的。那我們在複習歐幾里得算法的同時求一下gcd(60,22) ：

設a=60,b=22 （只是爲了簡潔），歐幾里得算法的過程如下：

a=2×b+16

b=1×16+6

16=2×6+4

6=1×4+2 (最大公約數)

4=2×2+0

於是gcd(a,b) 等於2 。現在終於可以來解方程了。首先觀察方程。顯然，我們可以枚舉x,y 來求解，通過觀察可以發現−4a+11b=2 。但是對於更一般的a 和b ，用枚舉的方法來解決問題就不一定有效了。這裏就必須引入擴展歐幾里得算法。同樣，先介紹一下擴展歐幾里得算法的大致步驟：

1. 將歐幾里得算法過程中的第一個式子中的a, b, r 都用a, b 表示
2. 將第二個式子中的a2, b2, r2 也用a, b 表示
3. 依次將第三，第四，…，第m 式子中的am, bm, rm 用a, b 表示
4. 將倒數第二條式子中的所有量用a, b 表示，此時可以得到方程的解

具體的步驟如下（下面的每條式子同上述歐幾里得算法的每條式子相對應）：

16=a−2b

6=−a+3b

4=3a−8b

2=−4a+11b

上面的最後一條式子就向我們展示瞭解。這就是擴展歐幾里得算法。因爲其正確性是顯然的，所以這裏就不證明了。

問題：求方程ax + by = gcd(a, b)的通解

如果求60x+22y=2 的解還不夠滿足的話，我們可以將這個問題的更一般的解找出來。將方程一般化後可以得到方程：ax+by=g ，其中g=gcd(a,b) 。我們嘗試求出這條方程的所有解，也就是其通解。

首先，可以通過上述擴展歐幾里得算法求出這條方程的一組解，我們可以將其記爲(x1,y1) 。

其次，我們可以先嚐試求g=1 的情況，也就是a,b 互質（沒有公共因子）的情況。顯然，如果將ax+by=1 的所有解(x,y) 在平面直角座標系中以點(x,y) 的形式畫出來，那麼這些解一定落在直線ax+by=1 上。以防有人不明白爲什麼這個方程的解集落在直線上，我們將方程變形爲

y=−abx+1b

這個“斜截式”的方程就比較顯然的呈現出一條直線了。那麼方程的另一組解就可以表示爲直線上的另一個座標爲整數的點

(x1+t,y1−abt)

其中t 爲某個神祕的我們暫時不需要知道是多少的整數。因爲g=gcd(a,b)=1 ，所以 爲了保證“abt 是整數“，必須滿足“t爲b的倍數” 。否則若b 既不能整除a 又不能整除t ，則abt 就 不是整數。

好的，現在t 是b 的倍數了（之所以先討論g=1 , 目的就在於得到這個結論從而簡化問題），那麼t就可以表示爲k×b ，也就是t=kb ，將t 代入(x1+t,y1−abt) 可得方程的通解的形式

(x1+kb,y1−ka)

其中k 爲任意整數，每個整數對應了方程的一組解。

然後，我們再討論g>1 的情況。先將方程ax+by=g 變形：

agx+bgy=1

問題就轉化成了上面一種情況，也就是a′x+b′y=1，a′=ag,b′=bg,gcd(a′,b′)=1 的情況，那麼套用前面的公式，通解就是

(x1+kbg,y1−kag)

問題：求方程ax + by = c的通解

問題：求方程ax + by = g的最小非負解