注：本文作者也沒太搞懂K-center算法
什麼是近似算法？
因爲存在NP-Hard問題，沒有算法能在多項式時間找出最優解。
在設計算法的時候要考慮三個問題：1.最優解 2.快速 3.全部情況
如果三個都考慮，可能沒法在多項式時間內完成，所以就考慮2和3，在多項式的時間內找到一個解，這個解可能不是最優解，但也不會太壞。
這就是近似算法
常見例子有：裝箱問題（Bin Packing）、揹包問題（The Knapsack Problem）、紋理拼接問題（texture packing）
衡量近似算法
近似算法的得到的解不能太壞，不然我們就不用這個算法了。所以要能衡量這個算法的好壞，標準就是所得解與最優情況的比值，哪個放分母無所謂，但結果一定要大於1。
比值可能有小數位，變成大於它的最小整數(1.3->2)，叫這個整數ρ (n)。
這個算法就叫做ρ(n)-approximation algorithm，顯然ρ(n)越小越好。
什麼是K-center問題
有一堆點（N），你要找到K箇中心的位置，每個中心形成一個半徑爲r的圓，這些圓能覆蓋所有的點。
K-center問題分析
定義dist（x，y）和 dist（x,C）x, y是點, C是點的集合。
dist(x, y)：兩個點間的距離
dist(x, C)：點x到C集合中所有點的距離的最小值，在本問題裏就是裏最近中心的距離
在這個問題裏，把點實體化爲老年人的房子（House->h），中心實體化爲老年人活動中心（Center->C）
問題就轉化爲求出所有的dist(h.i, C)，然後取其最大值作爲r，這樣每個老年人都最多走r距離找到一個活動中心。
爲了讓老年人少走點路，K-center問題就需要找出讓r最小的K箇中心位置。
這個問題裏我們用C*和r*表示最佳的情況。
爲什麼K-center問題需要用近似算法解決
亟待解決！
第一反應是因爲K個點的位置組合太多了，遍歷會很慢。但很多非近似算法不需要考慮所有情況，只需要考慮某些情況（比如最優情況，greedy）
問題轉化爲：爲什麼其他算法思想沒法在多項式時間解決這個問題
下面第一個貪婪算法可能能幫助理解。
做了texture packing 的project，感覺四個算法的思想都是貪婪算法的思想，課件上K-center問題的兩個可行的2-approximation算法也都是貪婪算法。是否近似算法一般都用的貪婪算法的思想呢？
一個不可行的貪婪算法
先建造一個老年活動中心，讓老年人們都有地方去且r最小，然後再建第二第三個，縮小r的值。
但問題是建造了中心後拆起來不方便，就有可能出現特別糟糕的情況，讓這個中心不如廢棄。
舉例：兩個城市集資建立一個老年活動中心，當然會建在兩個城市間。但後來老年人們覺得還是太遠了，於是讓兒女衆籌出了可以再建兩個中心的錢，在各自城市建立了新的兩個中心。第一個中心就沒用了。（K = 3）r大幅度縮短，從高速路變成了城市街道的距離。
如果只衆籌出了一箇中心的錢，那還有一個城市的老年人要跑和以前一樣遠的距離（半條高速路長），r還是沒變。（K = 2），顯然多等一段時間在兩個城市各建一個纔是最優情況。
一個可行的貪婪算法 近似算法Greedy-2r
！！！！！！發現理解有點不太對，思考中。請不要看下去了
這個算法是預先設定一個r值，然後看看這個r值能不能解決問題。
如何看能否解決問題？
隨便選一個老年人A把他家作爲活動中心，那些離A距離在2r內的老年人就可以不用去別的中心了。然後在從剩下的老年人中重複這個操作，直到沒有老年人了爲止。
如果最後選出了K以內的老年人，r就是一個可行解。
如果選的比K多，說明r肯定比最優解r*要小。
//僞代碼
Centers Greedy-2r ( Sites S[ ], int n, int K, double r )
{ Sites S’[ ] = S[ ]; /* S’ is the set of the remaining sites */
Centers C[ ] = ∅;
while ( S’[ ] != ∅ ) {
Select any s from S’ and add it to C;
Delete all s’ from S’ that are at dist(s’, s) ≤ 2r;
} /* end-while */
if ( |C| ≤ K ) return C;
else ERROR(No set of K centers with covering radius at most r);
}